Suppenemistestit ovat ehtoja, joiden avulla voidaan osoittaa sarjan suppeneminen tai hajaantuminen.

SuppenemistestejäMuokkaa

Majorantti- ja minoranttiperiaateMuokkaa

Olkoon   kaikilla    . Tällöin

  • Jos sarja   suppenee, niin sarja   suppenee (majoranttiperiaate).
  • Jos sarja   hajaantuu, niin sarja   hajaantuu (minoranttiperiaate).

VertailutestiMuokkaa

Oletetaan, että   ja   kaikilla    , ja että raja-arvo   on olemassa. Tällöin

  • Jos  , niin sarja   suppenee, jos ja vain jos   suppenee.
  • Jos   ja sarja   suppenee, niin myös   suppenee.
  • Jos   ja sarja   hajaantuu, niin myös   hajaantuu.

JuuritestiMuokkaa

Olkoon   kaikilla    .

  • Jos on olemassa       ja vakio   siten, että   kaikilla  , niin sarja   suppenee.
  • Jos on olemassa       ja vakio   siten, että   kaikilla  , niin sarja   hajaantuu.
  • Jos raja-arvo   on olemassa, niin sarja  
    • suppenee, jos  
    • hajaantuu, jos  .

OsamäärätestiMuokkaa

Olkoon   kaikilla    .

  • Jos on olemassa       ja vakio   siten, että   kaikilla  , niin sarja   suppenee.
  • Jos on olemassa       ja vakio   siten, että   kaikilla  , niin sarja   hajaantuu.
  • Jos raja-arvo   on olemassa, niin sarja  
    • suppenee, jos  
    • hajaantuu, jos  .

IntegraalitestiMuokkaa

Olkoon   vähenevä funktio, joka on integroituva jokaisella välillä  . Merkitään   kaikilla  .

Tällöin sarja   suppenee, jos ja vain jos epäoleellinen integraali   suppenee.

EsimerkkejäMuokkaa

  •   hajaantuu, koska  , kun  , ja   hajaantuu (vertailutesti).
  •     suppenee, koska     kun   (juuritestin raja-arvomuoto).

LähteetMuokkaa

  • Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo, Lauri Myrberg, Jouni Kankaanpää: Differentiaali- ja integraalilaskenta 1.2
  • Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten, osa 2, 1.-2. painos, 1978
  • Courant, Richard & John, Fritz: Introduction to Calculus and Analysis I, s. 520-522. Springer-Verlag, 1965. ISBN 3-540-65058-X.