Osamäärätesti

Osamäärätesti tai suhdetesti on tapa tutkia reaali- tai kompleksitermisten sarjojen suppenemista. Testin julkaisi Jean le Rond d'Alembert ja se tunnetaankin joskus nimellä d'Alembertin osamäärätesti. Testiä varten lasketaan sarjan kahden peräkkäisen termin itseisarvon raja-arvo indeksin n lähestyessä ääretöntä ja merkitään saatua raja-arvoa kirjaimella L. Matemaattisesti ilmaistuna

[1]

Saatua raja-arvoa tulkitaan seuraavasti:

  • jos , niin sarja suppenee.
  • jos , niin sarja hajaantuu.
  • jos , niin sarjan suppenemisesta ei voida sanoa mitään osamäärätestin perusteella.

EsimerkkejäMuokkaa

SuppenevaMuokkaa

Tutkitaan sarjan

 

suppenemista. Lasketaan sarjan kahden peräkkäisen termin itseisarvon raja-arvo

 

Koska raja-arvo   on pienempi kuin 1, niin sarja suppenee.

HajaantuvaMuokkaa

Tutkitaan sarjan

 

suppenemista. Osamäärätestin mukaisesti lasketaan

 

Koska   on suurempi kuin 1, niin sarja hajaantuu.

Testi ei kerro suppenemisestaMuokkaa

Jos sarjan raja-arvo L on tasan 1 eli

 

niin osamäärätestillä ei voida selvittää sen suppenemista.

Esimerkiksi sarja

 

hajaantuu, mutta

 

Sarja

 

puolestaan suppenee itseisesti, mutta

 

Sarja

 

suppenee ehdollisesti, mutta

 

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 120 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

KirjallisuuttaMuokkaa

  • Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3