Avaa päävalikko

Matematiikassa sarja on äärettömän lukujonon termien yhteenlasku. [1] Sarjateoria on tärkeä analyysin osa-alue, ja se kehittyi differentiaali- ja integraalilaskennan rinnalla 1600-luvun lopulta lähtien.

Sarjan summaMuokkaa

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Mikäli summa on olemassa, sarja on suppeneva.

Esimerkki
Voidaan päätellä, että  
Tämän sarjan osasummien jonolla
 
on raja-arvo  
Esimerkki
Otetaan esimerkiksi yhden metrin pituinen lanka. Puolitetaan se ja näin saaduista
identtisistä palasista puolitetaan taas toinen. Prosessia jatketaan äärettömiin.
Näin on todettu, että
 

Sarjan   osasummia ovat
 
 
 
 
 
 

Jos osasummien jonolle on olemassa raja-arvo, sarjan summa on
 

  • Jos raja-arvo on olemassa eli jos sarjan summa voidaan määrittää, sarja suppenee.
  • Jos raja-arvoa ei ole eikä sarjan summaa voida määrittää, sarja hajaantuu.

Aritmeettinen ja geometrinen sarjaMuokkaa

Sarja   on aritmeettinen, jos lukujono   on muotoa   eli jos kahden peräkkäisen termin erotus on vakio  .

Sarja   on geometrinen, jos lukujono   on muotoa   eli jos kahden peräkkäisen termin suhde on vakio  .

Kaavoja ja sääntöjäMuokkaa

  1. Sarja   hajaantuu, jos
    •   tai
    •   ei ole olemassa.
  2. Vuorotteleva sarja   eli sarja, jonka joka toinen termi on positiivinen, joka toinen negatiivinen, suppenee jos ja vain jos
    •  
  3. Aliharmoninen sarja   hajaantuu.
  4. Harmoninen sarja   hajaantuu.
  5. Yliharmoninen sarja   suppenee.
  6. Geometrinen sarja   suppenee, kun   tai  .
    • Tällöin  

EsimerkkejäMuokkaa

Määritetään sarjan   summa.

Osasumma  
Summa on geometrinen summa;  , termejä  .
 .

 

SarjakehitelmäMuokkaa

Monista funktioista voidaan muodostaa sarjamuotoinen esitystapa, sarjakehitelmä, jonka avulla funktion arvoja voidaan approksimoida käytännön laskentatehtävissä. Tällöin sarjakehitelmästä otetaan vain tietty määrä alkioita mukaan. Tällaisia sarjoja ovat esimerkiksi Taylorin ja Fourier'n sarja.

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 346–347. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

KirjallisuuttaMuokkaa