Avaa päävalikko

Aritmeettinen sarja

Aritmeettinen sarja on ääretön summalauseke, jonka jokaisen kahden peräkkäisen termin erotus on vakio. Aritmeettisen sarjan termit siis muodostavat aritmeettisen jonon. Esimerkki aritmeettisesta sarjasta on , jossa termien välinen vakioerotus on 1. Toinen esimerkki on , jossa vakioerotus on −0,5).

Aritmeettisen sarjan summaMuokkaa

Sarja   on ainoa suppeneva aritmeettinen sarja. Sarjan summa on 0. Kaikilla muilla aritmeettisilla sarjoilla on epäoleellinen raja-arvo  , eli sarjat hajaantuvat.

Lausekkeita aritmeettiselle sarjalleMuokkaa

  • n:s termi:  , missä d = peräkkäisten termien erotus
  • Ensimmäisten n termin summa:  

   

Todistus 1: Geometrisesti Sn on kolmiomaisen alueen ala, joka koostuu pylväistä, joiden korkeus on an ja leveys 1. Tämä johtaa triviaalisti kaavaan  .
Todistus 2: Kirjoitetaan Sn kahdella eri tavalla käyttäen kaavaa (1):
 
 
Lasketaan yhteen (2) + (3), jolloin kaikki d:t kumoutuvat pois:
 
 .

Aritmeettisen sarjan summalle   kaikilla  :n arvoilla pätee:[1]

 

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

Viitteet
  1. Metsänkylä, Y. ja Metsänkylä, R.: Matemaattiset tehtävät ylioppilastutkinnoissa 1969–1989. 36. painos, Tehtävä 6, s. 12. Jyväskylä, Gummerus, 1981. ISBN 951-20-1814-4.

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa