Tämä artikkeli käsittelee matemaattista kertomaa. Artikkeli verbien aikamuodosta, katso imperfekti.

Positiivisen kokonaisluvun kertoma on luvun ja kaikkien sitä pienempien positiivisten kokonaislukujen tulo, ja se merkitään . Esimerkiksi

0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
15 1 307 674 368 000
20 2 432 902 008 176 640 000
25 15 511 210 043 330 985 984 000 000
50 3,04140932... × 1064
70 1,19785717... × 10100
450 1,73368733... × 101000
3249 6,41233768... × 1010 000
25206 1,205703438... × 10100 000

Kertoma kuvaa äärellisen joukon alkioiden permutaatioiden lukumäärää: esimerkiksi 4 ihmistä voivat olla jonossa 24 eri tavalla.

Kertoma voidaan yleistää luonnollisilta luvuilta kompleksilukuihin saakka, tavallisin yleistys on gammafunktio.

Merkinnän esitti ranskalainen matemaatikko Christian Kramp vuonna 1808.[1]

Kertomaa käytetään yleensä pitkien kertolaskujen esittämiseen. Esimerkiksi

voidaan esittää muodossa

MääritelmäMuokkaa

Luvun   kertoma määritellään seuraavasti: [2]

 

kaikilla luonnollisilla luvuilla  .

Esimerkiksi

 .

On lisäksi määritelty, että  , koska tyhjä tulo on  . Luvun   kertomaa ei ole määritelty negatiivisille luvuille tai desimaaliluvuille, ainoastaan luonnollisille luvuille.


Stirlingin approksimaatioMuokkaa

Stirlingin approksimaatiolla voidaan arvioida kokonaisluvun kertomaa. Tämän likimääräismenetelmän tarkkuus suurenee kun käsitellään suuria kokonaislukuja. Arvioinnin menetelmää pidetään yleisesti skottilaisen matematiikon James Stirlingin kehittämänä,[3] joskin samoihin aikoihin myös ranskalainen matematiikko Abraham de Moivre oli tutkinut aihetta.[4]

Tilastollisessa termodynamiikassa tarkastellaan hiukkasjoukkoa, jonka suuruus vastaa Avogadron vakiota. Entropiaa laskettaessa tarvitaan näin suuresta hiukkasjoukosta ottaa kertoma, jonka laskeminen ilman likimääräismenetelmää on työlästä.

 
Stirlingin approksimaation aiheuttama suhteellinen virhe on alle 1 % jo 100:n hiukkasen järjestelmässä, joten approksimaatio on tarkka Avogadron vakion suuruiselle hiukkasjoukolle.

Stirlingin approksimaation johtamiseksi tarkastellaan kertoman logaritmia kun   otetaan suurena lukuna:

 

Euler-MacLaurin -yhtälöä käyttäen saadaan tarkempi approksimaatio:[5]

 

Tästä yhtälöstä kaksi ensimmäistä termiä ovat täysin riittäviä kertoman luonnollisen logaritmin approksimaation laskemiseksi käsiteltäessä hyvin suurta hiukkasjoukkoa. Oheisessa kuvassa on esitetty havainnollisuuden vuoksi yhtälön kahden ensimmäisen termin ja toisaalta kolmen ensimmäisen termin laskentatarkkuudella suhteellisen virheen pieneneminen tarkasteltavana olevan hiukkaslukumäärän kasvaessa.

Kertoman logaritmiton Stirlingin approksimaatio on  . Tämän lisäksi kaikilla luonnollisilla luvuilla   on voimassa arvio:[6]

 

Esimerkkejä approksimaation käytöstä:

     
     
     
     

LukuteoriaMuokkaa

Kertomilla on monia sovellutuksia lukuteoriassa. Erityisesti   on jaollinen kaikilla lukua   pienemmillä ja yhtäsuurilla alkuluvuilla. Siitä seuraa, että   on yhdistetty luku, jos

 .

Vahvempi tulos on Wilsonin lause, jonka mukaan

 ,

jos   on alkuluku. Ainoa kertoma, joka on myös alkuluku, on 2. On kuitenkin olemassa monia alkulukuja muotoa  . Näitä alkulukuja kutsutaan kertoma-alkuluvuiksi.

Kertomafunktion arvo gammafunktion avullaMuokkaa

Kertomafunktio voidaan ilmaista kokonaislukuargumenttisen gammafunktion   avulla:

 

.

Gammafunktion avulla kertoma voidaan määritellä myös muille kuin luonnollisille luvuille, mutta tällöin kertoman sijasta yleensä viitataan suoraan gammafunktioon.

Kertomafunktion arvo alkulukutekijöiden tulonaMuokkaa

Kertomafunktion arvo voidaan laskea kaavasta

 ,

missä luvut   ovat alkulukuja.

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Florian Cajori: ”448”, A History of mathematical Notations, Volume II, s. 72. . ISBN 978-1-60206-713-4.
  2. Richard Courant & Fritz John: Introduction to Calculus and Analysis 1 - Volume 1, s. 56. Springer, 1999. ISBN 3-540-65058-X. (englanniksi)
  3. J. Stirling, Methodus Differentialis: sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum, 1730, Lontoo
  4. A. de Moivre, Miscellanea analytica de seriebus et qadraturis, 1730, Lontoo
  5. E. Steiner, The Chemistry Math Book, 2004, s. 460, ISBN 0 19 855914 3
  6. https://proofwiki.org/wiki/Limit_of_Error_in_Stirling%27s_Formula

Aiheesta muuallaMuokkaa

 
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Kertoma.