Kertoma
Positiivisen kokonaisluvun kertoma on luvun ja kaikkien sitä pienempien positiivisten kokonaislukujen tulo, ja se merkitään . Esimerkiksi
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 6 |
4 | 24 |
5 | 120 |
6 | 720 |
7 | 5040 |
8 | 40 320 |
9 | 362 880 |
10 | 3 628 800 |
15 | 1 307 674 368 000 |
20 | 2 432 902 008 176 640 000 |
25 | 15 511 210 043 330 985 984 000 000 |
50 | 3,04140932... × 1064 |
70 | 1,19785717... × 10100 |
450 | 1,73368733... × 101000 |
3249 | 6,41233768... × 1010 000 |
25206 | 1,205703438... × 10100 000 |
Kertoma kuvaa äärellisen joukon alkioiden permutaatioiden lukumäärää: esimerkiksi 4 ihmistä voivat olla jonossa 24 eri tavalla.
Kertoma voidaan yleistää luonnollisilta luvuilta kompleksilukuihin saakka, tavallisin yleistys on gammafunktio.
Merkinnän esitti ranskalainen matemaatikko Christian Kramp vuonna 1808.[1]
Kertomaa käytetään yleensä pitkien kertolaskujen esittämiseen. Esimerkiksi
- voidaan esittää muodossa
MääritelmäMuokkaa
Luvun kertoma määritellään seuraavasti: [2]
kaikilla luonnollisilla luvuilla .
Esimerkiksi
On lisäksi määritelty, että , koska tyhjä tulo on . Luvun kertomaa ei ole määritelty negatiivisille luvuille tai desimaaliluvuille, ainoastaan luonnollisille luvuille.
KasvunopeusMuokkaa
Kertoma kasvaa varsin nopeasti. Monilla laskimilla saatu likiarvo 69:n kertomasta, ( ) on jo yli triljoonakertaisesti ihmiskunnan arvioimaa tunnetun maailmankaikkeuden atomimäärää suurempi.
Stirlingin kaavaMuokkaa
Kertomaa voi approksimoida Stirlingin kaavalla:
Lisäksi kaikilla luonnollisilla luvuilla on voimassa arvio
Stirlingin kaava on suljetussa muodossa olevana numeerisesti nopea käsitellä ja suhteellisesti tarkka suurilla arvoilla. Esimerkiksi:
LukuteoriaMuokkaa
Kertomilla on monia sovellutuksia lukuteoriassa. Erityisesti on jaollinen kaikilla lukua pienemmillä ja yhtäsuurilla alkuluvuilla. Siitä seuraa, että on yhdistetty luku, jos
Vahvempi tulos on Wilsonin lause, jonka mukaan
jos on alkuluku. Ainoa kertoma, joka on myös alkuluku, on 2. On kuitenkin olemassa monia alkulukuja muotoa . Näitä alkulukuja kutsutaan kertoma-alkuluvuiksi.
Kertomafunktion arvo gammafunktion avullaMuokkaa
Kertomafunktio voidaan ilmaista kokonaislukuargumenttisen gammafunktion avulla:
.
Gammafunktion avulla kertoma voidaan määritellä myös muille kuin luonnollisille luvuille, mutta tällöin kertoman sijasta yleensä viitataan suoraan gammafunktioon.
Kertomafunktion arvo alkulukutekijöiden tulonaMuokkaa
Kertomafunktion arvo voidaan laskea kaavasta
missä luvut ovat alkulukuja.
Katso myösMuokkaa
LähteetMuokkaa
- ↑ Florian Cajori: ”448”, A History of mathematical Notations, Volume II, s. 72. . ISBN 978-1-60206-713-4.
- ↑ Richard Courant & Fritz John: Introduction to Calculus and Analysis 1 - Volume 1, s. 56. Springer, 1999. ISBN 3-540-65058-X. (englanniksi)
- ↑ https://proofwiki.org/wiki/Limit_of_Error_in_Stirling%27s_Formula
Aiheesta muuallaMuokkaa
- Mathworld: Factorial (englanniksi)
- Mathworld. Stirling's Approximation (englanniksi)
- http://factorielle.free.fr (englanniksi)
- Online laskimet kertoma