Kertoma

Positiivisen kokonaisluvun $n$ kertoma on luvun $n$ ja kaikkien sitä pienempien positiivisten kokonaislukujen tulo, ja se merkitään $n!$. Esimerkiksi

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
15	1 307 674 368 000
20	2 432 902 008 176 640 000
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000
50	3,04140932... × 1064
70	1,19785717... × 10100
450	1,73368733... × 101000
3249	6,41233768... × 1010 000
25206	1,205703438... × 10100 000

$4!=4\times 3\times 2\times 1=24\$

Kertoma kuvaa äärellisen joukon alkioiden permutaatioiden lukumäärää: esimerkiksi 4 ihmistä voivat olla jonossa 24 eri tavalla.

Kertoma voidaan yleistää luonnollisilta luvuilta kompleksilukuihin saakka, tavallisin yleistys on gammafunktio.

Merkinnän $n!$ esitti ranskalainen matemaatikko Christian Kramp vuonna 1808.

Kertomaa käytetään yleensä pitkien kertolaskujen esittämiseen. Esimerkiksi

$8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=40320\$ voidaan esittää muodossa $8!$

Määritelmä

Luvun $n$ kertoma määritellään seuraavasti:

$n!=\prod _{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n$

kaikilla luonnollisilla luvuilla $n\in \mathbb {N}$.

Esimerkiksi

$5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$.

On lisäksi määritelty, että $0!=1$, koska tyhjä tulo on $1$. Luvun $n$ kertomaa ei ole määritelty negatiivisille luvuille tai desimaaliluvuille, ainoastaan luonnollisille luvuille.

Kasvunopeus

Kertoma kasvaa varsin nopeasti. Monilla laskimilla saatu likiarvo 69:n kertomasta, ($1{,}7\cdot 10^{98}$) on jo yli triljoonakertaisesti ihmiskunnan arvioimaa tunnetun maailmankaikkeuden atomimäärää suurempi.

Stirlingin kaava

Kertomaa voi approksimoida Stirlingin kaavalla:

$n!\approx \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}}$.

Lisäksi kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$ on voimassa arvio

${\sqrt {2\pi }}n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n+{\frac {1}{12n+1}}}<n!<{\sqrt {2\pi }}n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n+{\frac {1}{12n}}}$.

Stirlingin kaava on suljetussa muodossa olevana numeerisesti nopea käsitellä ja suhteellisesti tarkka suurilla arvoilla. Esimerkiksi:

$\left({\frac {10}{e}}\right)^{10}{\sqrt {2\pi \cdot 10}}$	$\approx$	$3\,598\,696$
$\left({\frac {100}{e}}\right)^{100}{\sqrt {2\pi \cdot 100}}$	$\approx$	$9{,}325\cdot 10^{157}$
$\left({\frac {10^{6}}{e}}\right)^{10^{6}}{\sqrt {2\pi \cdot 10^{6}}}$	$\approx$	$8{,}265\cdot 10^{5\,565\,708}$
$\left({\frac {10^{9}}{e}}\right)^{10^{9}}{\sqrt {2\pi \cdot 10^{9}}}$	$\approx$	$9{,}905\cdot 10^{8\,565\,705\,522}$

Lukuteoria

Kertomilla on monia sovellutuksia lukuteoriassa. Erityisesti $n!$ on jaollinen kaikilla lukua $n$ pienemmillä ja yhtäsuurilla alkuluvuilla. Siitä seuraa, että $n>5$ on yhdistetty luku, jos

$(n-1)!\ \equiv \ 0\ ({\rm {mod}}\ n)$.

Vahvempi tulos on Wilsonin lause, jonka mukaan

$(p-1)!\ \equiv \ -1\ ({\rm {mod}}\ p)$,

jos $p$ on alkuluku. Ainoa kertoma, joka on myös alkuluku, on 2. On kuitenkin olemassa monia alkulukuja muotoa $\scriptstyle n!\pm 1$. Näitä alkulukuja kutsutaan kertoma-alkuluvuiksi.

Kertomafunktion arvo gammafunktion avulla

Kertomafunktio voidaan ilmaista kokonaislukuargumenttisen gammafunktion $\Gamma (x),(x\in \mathbb {N} )$ avulla:

$n!=\Gamma (n+1)$

.

Gammafunktion avulla kertoma voidaan määritellä myös muille kuin luonnollisille luvuille, mutta tällöin kertoman sijasta yleensä viitataan suoraan gammafunktioon.

Kertomafunktion arvo alkulukutekijöiden tulona

Kertomafunktion arvo voidaan laskea kaavasta

$n!=\prod _{p\leq n}p^{\sum _{k=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor }$,

missä luvut $p$ ovat alkulukuja.

Katso myös

• Todennäköisyyslaskenta
• Gammafunktio
• Binomikerroin
• Kertomafunktio
• Primorial
• Fibonaccin kertoma

Aiheesta muualla

• Mathworld: Factorial (englanniksi)
• Mathworld. Stirling's Approximation (englanniksi)
• http://factorielle.free.fr (englanniksi)
• Online laskimet kertoma