Pyörähdyskappale

Pyörähdys­kappale on kolmi­ulotteinen kappale, jonka voidaan ajatella syntyvän jonkin käyrän rajoittaman tasoalueen pyörähtäessä avaruudessa jonkin kiinteän suoran, akselin ympäri.

Käyrän pyörähtäessä syntyvä pyörähdys­kappale ja sitä rajoittava pyörähdys­pinta
Monet astiat, esimerkiksi tavallinen Puna­viini­lasi, ovat muodoltaan pyörähdys­kappaleita

Yksinkertaisimpia pyörähdys­kappaleita ovat lieriö ja kartio. Lieriö syntyy kahden suoran välisen alueen pyörähtäessä toisen suoran ympäri, kartio taas janan pyörähtäessä sen toisen pääte­pisteen kautta kulkevan suoran ympäri. Ympyrän pyörähtäessä halkaisijansa ympäri syntyy pyörähdyskappaleena pallo. Jos ympyrä pyörähtää kokonaan sen ulko­puolella olevan suoran ympäri, saadaan renkaan tai munkkirinkelin muotoinen, toruspinnan rajoittama kappale.[1] Ellipsin pyörähtäessä isoakselinsa ympäri syntyy pyörähdysellipsoidi.

Käytännössä pyörähdys­kappaleita ovat muodoltaan monet astiat sekä yleensä sorvin avulla valmistetut esineet.

Pyörähdyskappaleet ovat symmetrisiä kaikkien akselin ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen. Niiden poikki­leikkaus akselia vastaan kohti­suorilla tasoilla on ympyrä.

Pyörähdyskappaleen rajapinta on pyörähdyspinta.

TilavuusMuokkaa

Mikäli pyörähtävää aluetta rajoittava käyrä voidaan esittää jonkin funktion kuvaajana, voidaan pyörähdys­kappaleen tilavuus määrittää integraalilaskennan avulla. Oletetaan, että f on välillä [a,b] jatkuva positiivinen funktio ja että pyörähtävää aluetta A rajoittavat käyrä y = f(x) sekä suorat y=0, x=a ja y=b. Tällöin alueen A pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyy pyörähdys­kappale, johon kuuluvat pisteet (x,y,z) toteuttavat epäyhtälöt

 
 

Tämän pyörähdyskappaleen tilavuus on[2]

 .

Korkeammissa ulottuvuuksissaMuokkaa

Jos käyrä y=f(x) pyörähtää x-akselin ympäri (n+1)-ulotteisessa avaruudessa, on x-akseli kohtisuoraan n-ulotteista avaruutta vastaan, jolloin jokainen käyrän piste rajaa n-ulotteisen pallon tilavuuden. Tämän pyörähdyskappaleen tilavuus on

 

Missä   on gammafunktio.

Pyörähtääkseen on kappaleen kunkin pisteen rajattava pallopinta. Tämän pallopinnan ulottuvuudet määräävät ne koordinaattiakselit, jotka ovat kohtisuorassa pyörähdyksen akselia vastaan. Esimerkiksi kun käyrä   pyörähtää  -avaruudessa x-akselin ympäri, rajaa jokainen sen piste  -tason suuntaisen ympyrän. Tästä seuraa, että n-ulotteisessa avaruudessa pyörähdyksen akselin ei välttämättä ole oltava suora, vaan se voi olla enintään  -ulotteinen. Esimerkiksi  -avaruudessa  -tason ympäri pyörähtävän kappaleen pisteet rajaavat kukin ympyrän  -tasossa.

LähteetMuokkaa

  1. Ynge Lehtosaari, Jarkko Leino: Matematiikka 11, s. 199. Kirjayhtymä, 1974. ISBN 951-26-0078-1.
  2. Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta 1, s. 280-281. Kirjayhtymä, 1977. ISBN 951-26-0936-3.

Aiheesta muuallaMuokkaa