Avaa päävalikko

Neliö (geometria)

säännöllinen nelikulmio

ErityispiirteetMuokkaa

Konveksi nelikulmio on neliö jos ja vain jos[2][3]

  • se on nelikulmio, jonka lävistäjät ovat yhtä pitkät ja kohtaavat toisensa kohtisuoraan.
  • se on nelikulmio, jolla on neljä yhtä pitkää sivua ja neljä suoraa kulmaa.
  • se on suunnikas, jolla on yksi suora kulma ja kaksi vierekkäistä ja yhtä pitkää sivua.
  • se on neljäkäs, jolla on suora kulma.
  • se on neljäkäs, jolla on kaikki kulmat yhtä suuria.
  • se on neljäkäs, jolla on lävistäjät yhtä pitkät.
  • se on suorakulmio, jolla on kaksi vierekkäistä ja yhtäpitkää sivua.

OminaisuudetMuokkaa

 
Neliön mittoja. Ympäri ja sisälle piirretyt ympyrät.

Neliöllä on monia suunnikkaan ominaisuuksia. Esimerkiksi vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset.[4] Neliö on symmetrinen pisteen O suhteen, mikäli kuvion kaikille pisteille löytyy O:n vastakkaiselta puolelta, ja yhtä etäältä, kuvion oma piste. Neliöllä on symmetriapiste lävistäjien leikkauspisteessä O, joten sitä kutsutaan pistesymmetriseksi O:n suhteen. Neliö on myös symmetrinen symmetria-akselien suhteen. Tällaisia akseleita ovat molemmat lävistäjät ja sivujen suuntaiset neliön puolittajasuorat.[5]

KulmatMuokkaa

Yksinkertaisen nelikulmion (kulmien lukumäärä n = 4) sisäkulmien summa on

 [6][7][8][9]

Koska neliö on tasakulmainen kuvio, ovat kulmat yhtä suuria eli

  Neliö on siten suorakulmainen nelikulmio eli suorakulmio.

Neliön lävistäjät puolittavat sisäkulmat ja leikkaavat toisensa suorassa kulmassa, ja lisäksi mediaani vastaiselle sivulle erottaa (kuviossa e) neliöstä kolmion, jonka terävä kulma on β = arctan 0,5 ≈ 26,5650118°. Lävistäjät muodostavat sivua vastaan keskuskulman, joka on 90°.[10]

LävistäjätMuokkaa

Yksinkertaisessa nelikulmiossa on aina   lävistäjää, jotka neliössä ovat saman pituiset (merkitään tässä d). Kun neliön sivun pituus on  , ovat lävistäjät

 [11][12]

Lävistäjät puolittavat neliössä toisensa.[1]

Neliön lävistäjä toi luvun   ensimmäisen kerran antiikin kreikkalaisten tietoisuuteen. He havaitsivat silloin, ettei sen arvoa voinut ilmaista murtolukumerkinnällä, mikä johti lukualueen laajennuksiin. Lukua ei pidetty yhteismitallisena.[12]

Sisä- ja ympärysympyrätMuokkaa

Koska neliö on säännöllinen monikulmio, voidaan sen ympäri ja sisään aina piirtää ympyrät. Sisä- ja ympärysympyröiden keskipisteet ovat samalla symmetriapisteet.[13]

Sisäympyrä sivuaa neliön sivuja sen sisäpuolelta, jolloin sen säde   on puolet sivun pituudesta

 [14]

Sisäympyrän sädettä kutsutaan säännöllisen monikulmion apoteemaksi tai myös pieneksi säteeksi.[13] Koska neliön sisään voidaan piirtää ympyrä, on myös tangentiaalinen monikulmio, ja erityisesti tangentiaalinen nelikulmio.

Ympärysympyrän, joka kiertää neliötä jokaisen kärjen kautta, halkaisija on neliön lävistäjän   pituinen. Ympärysympyrän säde on puolet siitä eli

 [14]

Ympärysympyrän sädettä kutsutaan myös suureksi säteeksi.[13] Koska neliön ympäri voidaan aina piirtää ympyrä, on se myös syklinen monikulmio.[15] Syklinen nelikulmio, joka on samalla tangentiaalinen nelikulmio, on myös bisentrinen nelikulmio.

MittojaMuokkaa

Yleisesti tunnettuja neliön mittoja ovat muun muassa

  • Piiri:  [14]
  • Pinta-ala:  [16][14]
  • Jana e:  

KonstruktioMuokkaa

 
Eräs tapa piirtää neliö käyttäen vain harppia ja viivainta.

Eräs helppo tapa konstruoida neliö on käyttää kohtisuoruuden ominaisuuksia. Piirretään ensin puolisuora, jonka päättyvään päähän mitataan neliön haluttu sivun pituus. Mitattuun pisteeseen pyöräytetään pienempi ympyrä, jonka leikkauspisteet puolisuoran kanssa merkitään. Hieman suuremmalla säteellä piirretään leikkauspisteistä ympyrän kaaret, jotka leikkaavat toisensa kahdesti. Uusien leikkauspisteiden kautta piirretään ylöspäin puolisuora. Puolisuora katkaistaan sivun pituudeksi. Nyt on kaksi sivua, jotka ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, ja neliöstä tunnetaan kolme kärkeä.[17]

Otetaan sivun pituus harppiin ja piirretään pienet toisiaan leikkaavat kaaret kummankin sivun kauimmaisista päätepisteistä. Tämä leikkauspiste on neliön viimeisen kulman paikka. Piirretään viivaimella viimeiset kaksi sivua.[17]

Neliön konstruointiin on lukuisia erilaisia tapoja.

Muuta erikoistaMuokkaa

Pythagoraan lauseMuokkaa

Neliöitä apuna käyttäen voidaan todistaa mm. Pythagoraan lause, jonka mukaan suorakulmaisen kolmion kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö.[18]

Pinta-alan käsiteMuokkaa

 
Neliön muotoinen alue, joka on sivumitaltaan 5 metriä, voidaan jakaa 25:een neliömetrin kokoisiin neliöihin. Pinta-ala on silloin 25 m². Neliöluvut ovat samaa perua.

Pinta-alan suure ilmaistaan käyttämällä vertailualaa neliönmuotoisia mittayksiköitä. Pinta-alan johdannaisyksikkö on neliömetri, jolla tarkoitetaan metrin pituisten sivujen rajaamaa neliötä. Neliö on hyvä alan yksikön muoto, sillä se on helppo muodostaa (jopa likimääräisesti) ja neliöitä voidaan "laatoittaa" tasoalueelle aukottomasti.[14][19]

Muita pinta-alan yksiköitä on paljon, mutta neliömetristä voidaan muodostaa kerrannaisyksiköitä jakamalla sivut 10-osiin, jolloin alue jakaantuu 100-osiin. Tämän vuoksi alan suhdeluku on sata, ja esim. 1 m² kokoiselle neliölle mahtuu 100 pienempää 1 dm² kokoista neliötä.[16]

NeliöluvutMuokkaa

Neliöluvut ovat pinta-alan peruja. On ollut hyödyllistä muistaa tiettyjä lukuja, koska ne on muodostettu luonnollisten lukujen neliöinä. Neliöjuuri on siten neliöluvun   synnyttävä luku  

  koska  [20]

Alan jako kolmeenMuokkaa

 
Esimerkki neliön jakamisesta kolmeen yhtä suureen osaan.

Jaettaessa neliö kolmeen pinta-alaltaan yhtä suureen osaan kuvassa esitetyllä tavalla sivut jakautuvat kokonaislukusuhteissa.[21]

LähteetMuokkaa

ViitteetMuokkaa

  1. a b Väisälä, Kalle: Geometria, s. 68–72
  2. Usiskin, Zalman & Griffin, Jennifer: The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition, Information Age Publishing, 2008, s. 55–56, (linkki sivulle 55)
  3. Wilson, J.: Problem Set 1.3, Georgian Yliopisto
  4. Math is Fun: Quadrilaterals
  5. Väisälä, Kalle: Geometria, s.30
  6. Väisälä, Kalle: Geometria, s. 22
  7. Math Open Reference: Interior Angles of a Polygon
  8. Alatupa, Sami et al.: Pitkä Sigma 3 – Geometria, 2008, s. 17–27
  9. Kontkanen, Pekka et al.: Pyramidi 3 – Geometria, 2005, s. 44–52
  10. Väisälä, Kalle: Geometria, s. 125
  11. Väisälä, Kalle: Geometria, s. 121
  12. a b Weisstein, Eric W.: Pythagoras's Constant (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  13. a b c Väisälä, Kalle: Geometria, s. 91–96
  14. a b c d e Weisstein, Eric W.: Square (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  15. Väisälä, Kalle: Geometria, s. 88–90
  16. a b Väisälä, Kalle: Geometria, s. 43
  17. a b planetmath.org: construction of square
  18. Väisälä, Kalle: Geometria, s. 48
  19. Väisälä, Kalle: Geometria, s. 42
  20. Weisstein, Eric W.: Square Number (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  21. Mogens Esrom Larsen: Neliö jaetaan kolmeen. Tieteen Kuvalehti, 1997, nro 4, s. 66. Helsinki: Bonnier Julkaisut Oy.