Avaa päävalikko
Keskijana (tai suora) piirretään kolmion kärjestä vastaisen sivun keskipisteeseen.

Keskijana eli mediaani on geometriassa jana, jonka toinen päätepiste on kohdejanan keskipisteessä. Esimerkiksi kolmiossa keskijana kulkee kolmion kärjestä vastakkaisen sivun keskipisteeseen eli kantapisteeseen. (Mediaani tarkoittaa myös erästä keskilukua: lukusarjan keskimmäistä lukuarvoa.)

Keskijanan kantapiste merkitään usein alaviitteellä, mutta merkinnässä on lähteistä riippuen eroja. Jos jana alkaa pisteestä A, saatetaan kantapistettä merkitä tai . Joskus se merkitään tai , jos se sijaitsee janalla [1]

Tässä merkitään kolmion sivujen pituuksia kirjaimilla a, b ja c sekä kolmion kärkiä kirjaimilla A, B ja C. Kantapisteet ovat silloin Ma, Mb ja Mc sekä keskijanojen pituudet ma, mb ja mc.

KaavojaMuokkaa

Yleisen kolmion keskijanan pituus on   missä keskijana toinen pää on janan   keskipisteessä. Tämä on seuraus Apolloniuksen lauseesta.[2][3]

Kun keskijanojen yhteispituuden puolikasta merkitään   pätee kolme asiaa:

  •   (vastaavasti muillekin kolmion suvuille)
  •  
  •   [4]

Yleisiä teoreemojaMuokkaa

 
Keskijanat leikkaavat aina kaikki toisensa samassa pisteessä, jotka kutsutaan painopisteeksi.
 
Keskijanojen kantapisteistä muodostuu keskinen kolmio, jonka keskijanat leikkaavat alkuperäisen kolmion painopisteessä.

Jos kolmiossa on keskijanat yhtä pitkät kuin vastinjanat toisessa kolmiossa, ovat kolmiot yhtenevät.[5]

Jokainen keskijana leikkaa toisensa suhteessa 1 : 2. Keskijanat jakavat kukin yksin kolmion kahteen pinta-alaltaan tai, tasapaksulla levyllä vastaavasti, painoltaan yhtä painavaan, osaan.[4]

Kolmion keskijanat jakavat kolmion kuuteen pienempään kolmioon, joilla kaikilla on sama pinta-ala.[6]

Kolmion keskijanojen kantapisteiden kautta voidaan piirtää ympyrä. Tämä ympyrä kulkee myös kolmion korkeusjanojen kantapisteiden kautta.[7]

Keskijanojen kantapisteistä muodostuu keskinen kolmio, jonka painopiste sama kuin alkuperäiselläkin kolmiolla.[8]

Jos kolmion keskijana on samalla korkeusjana eli se kohtaa janan kohtisuorasti, on kolmio tasakylkinen- tai tasasivuinen kolmio.

PainopisteMuokkaa

Kolmion keskijanat leikkaavat aina samassa pisteessä, jota kutsutaan painopisteeksi ja merkitään usein kirjaimella G. Painopiste jakaa jokaisen keskijanan osiin suhteessa 2 : 1 siten, että janan lyhyempi osa jää kantapisteen puolelle. [9][6][10][11]

LähteetMuokkaa

ViitteetMuokkaa

  1. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.10
  2. Seppänen, Raimo et al., MAOL, s.28–29
  3. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.17
  4. a b Weisstein, Eric W.: Triangle Median (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.12
  6. a b Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.107
  7. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.26–27
  8. Weisstein, Eric W.: Medial Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  9. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.25
  10. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.108
  11. Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s.81