Keskinen kolmio

Keskinen kolmio muodostetaan geometriassa yhdistämällä kolmion sivujen keskipisteet janoilla toisiinsa.

Keskinen kolmio (punainen) muodostetaan yhdistämällä sivujen keskipisteet toisiinsa.

Kolmio, joka syntyy kolmion sivuilla olevista pisteistä, kutsutaan sisäkolmioksi. Keskinen kolmio on siten eräs kolmion sisäkolmio. Kolmiota, josta keskinen kolmio muodostettiin, on keskisen kolmion antikomplementtinen kolmio.

Ominaisuudet

Merkitään kolmion $\triangle ABC$ kärjen vastaisia sivuja $a,\,b\,ja\,c$ ja sivujen keskipisteitä $M_{a},\,M_{b}\,ja\,M_{c}$, jolloin keskinen kolmio voidaan merkitä $\triangle M_{a}M_{b}M_{c}$. Keskisen kolmion sivuja voidaan merkitä $a'=M_{b}M_{c},\,b'=M_{a}M_{c}\,ja\,c'=M_{a}M_{b}$, jolloin esimerkiksi sivuja $a\,ja\,a'$, ja muutkin vastaavasti, ovat toistensa vastinsivuja.

Yhdenmuotoisuus

Keskinen kolmio $M_{a},\,M_{b}\,ja\,M_{c}$ on yhdenmuotoinen $\triangle ABC$ kanssa. Voidaan nimittäin osittaa, että kaikki kolmion $M_{a},\,M_{b}\,ja\,M_{c}$ sivut ovat yhdensuuntaisia jonkin kolmion $\triangle ABC$ sivujen kanssa. Yhdensuuntaisuus kulkee vastinsivupareina, esimerkiksi $a\,ja\,a'$. Yhdensuuntaisuudesta johtuen kaikki keskisen kolmion vastinkulmat ovat samat kolmion $\triangle ABC$ kulmien kanssa.

Koska keskinen kolmio määriteltiin sivujen keskipisteiden avulla, ovat sen sivut puolet kolmion $\triangle ABC$ sivuista

$a'={\tfrac {1}{2}}a,\ b'={\tfrac {1}{2}}b\ ja\ c'={\tfrac {1}{2}}c.$

Keskisen kolmion pinta-ala $\triangle _{M_{a}M_{b}M_{c}}$ on

$\triangle _{M_{a}M_{b}M_{c}}={\tfrac {1}{4}}\triangle _{ABC}.$

Kolmion $\triangle ABC$ ja kärjen $A$ väliin jäävä kolmio on yhdenmuotoinen ja samankokoinen, eli yhtenevä keskisen kolmion kanssa. Sama pätee muihin vastaaviin kolmioihin ja tämä voidaan tiivistää sanomalla, että kolmio $\triangle ABC$ voidaan jakaa neljään, keskenään yhtenevään mutta kolmion kanssa, yhdenmuotoiseen kolmioon, joilla siis on sama pinta-ala. Nelikulmiot, jotka muodostuvat keskisen kolmion kärjistä ja yhdestä kolmion $\triangle ABC$ kärjestä, ovat suunnikkaita.

Merkilliset pisteet ja kolmioteoria

Keskinen kolmio syntyi yhdistämällä kolmion $\triangle ABC$ sivujen keskipisteet toisiinsa. Keskipisteisiin vedetyt keskijanat leikkaavat toisensa painopisteessä (Kimberlingin tunnus $X_{2}$ ). Keskisen kolmion sivujen keskipisteet sijaitsevat näillä keskijanoilla, joten keskisen kolmion keskijanat yhtyvät kolmion $\triangle ABC$ keskijanoihin. Tällöin myös keskisen kolmion painopiste on kolmion $\triangle ABC$ painopisteen kanssa sama. Itse asiassa, rekursiivisesti määritellyt kaikkien keskisen kolmioiden keskisten kolmioiden painopisteet ovat samassa paikka.

Kolmion $\triangle ABC$ ulkoympyrän keskipiste on sama kuin keskisen kolmion kolmion keskinormaalien leikkauspiste (Kimberlingin tunnus $X_{3}$ ). Tämä johtuu siitä, että keskisen kolmion korkeusjanat ovat kolmion keskinormaaleilla, joiden leikkauspisteet ovat siksi samat. Keskisen kolmion ulkoympyrä on taas kolmion $\triangle ABC$ yhdeksän pisteen ympyrä ja sisäympyrä on sen Spiekerin ympyrä, jonka keskipiste on Spiekerin piste (Kimberlingin tunnus $X_{10}$ ).

Trilineaarit

Keskisen kolmion kärkien trilineaarit eli trilineaariset koordinaatit ovat

$M_{a}=0:{\tfrac {1}{b}}:{\tfrac {1}{c}}$, $M_{b}={\tfrac {1}{a}}:0:{\tfrac {1}{c}}$ ja $M_{c}={\tfrac {1}{a}}:{\tfrac {1}{b}}:0.$

Trilineaarinen matriisi on siksi

${\begin{bmatrix}0&b^{-1}&c^{-1}\\a^{-1}&0&c^{-1}\\a^{-1}&b^{-1}&0\end{bmatrix}}.$

Lähteet

• Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.