Keskinen kolmio

Keskinen kolmio muodostetaan geometriassa yhdistämällä kolmion sivujen keskipisteet janoilla toisiinsa.

Keskinen kolmio (punainen) muodostetaan yhdistämällä sivujen keskipisteet toisiinsa.

Kolmio, joka syntyy kolmion sivuilla olevista pisteistä, kutsutaan sisäkolmioksi.[1] Keskinen kolmio on siten eräs kolmion sisäkolmio. Kolmiota, josta keskinen kolmio muodostettiin, on keskisen kolmion antikomplementtinen kolmio.[2]

OminaisuudetMuokkaa

Merkitään kolmion   kärjen vastaisia sivuja   ja sivujen keskipisteitä  , jolloin keskinen kolmio voidaan merkitä  . Keskisen kolmion sivuja voidaan merkitä  , jolloin esimerkiksi sivuja  , ja muutkin vastaavasti, ovat toistensa vastinsivuja.

YhdenmuotoisuusMuokkaa

Keskinen kolmio   on yhdenmuotoinen   kanssa. Voidaan nimittäin osittaa, että kaikki kolmion   sivut ovat yhdensuuntaisia jonkin kolmion   sivujen kanssa. Yhdensuuntaisuus kulkee vastinsivupareina, esimerkiksi  . Yhdensuuntaisuudesta johtuen kaikki keskisen kolmion vastinkulmat ovat samat kolmion   kulmien kanssa.[3][4]

Koska keskinen kolmio määriteltiin sivujen keskipisteiden avulla, ovat sen sivut puolet kolmion   sivuista

  [3]

Keskisen kolmion pinta-ala   on

  [3][4]

Kolmion   ja kärjen   väliin jäävä kolmio on yhdenmuotoinen ja samankokoinen, eli yhtenevä keskisen kolmion kanssa. Sama pätee muihin vastaaviin kolmioihin ja tämä voidaan tiivistää sanomalla, että kolmio   voidaan jakaa neljään, keskenään yhtenevään mutta kolmion kanssa, yhdenmuotoiseen kolmioon, joilla siis on sama pinta-ala.[3] Nelikulmiot, jotka muodostuvat keskisen kolmion kärjistä ja yhdestä kolmion   kärjestä, ovat suunnikkaita.[4]

Merkilliset pisteet ja kolmioteoriaMuokkaa

Keskinen kolmio syntyi yhdistämällä kolmion   sivujen keskipisteet toisiinsa. Keskipisteisiin vedetyt keskijanat leikkaavat toisensa painopisteessä (Kimberlingin tunnus   [5]). Keskisen kolmion sivujen keskipisteet sijaitsevat näillä keskijanoilla, joten keskisen kolmion keskijanat yhtyvät kolmion   keskijanoihin.[6] Tällöin myös keskisen kolmion painopiste on kolmion   painopisteen kanssa sama. Itse asiassa, rekursiivisesti määritellyt kaikkien keskisen kolmioiden keskisten kolmioiden painopisteet ovat samassa paikka.[3][7][4]

Kolmion   ulkoympyrän keskipiste on sama kuin keskisen kolmion kolmion keskinormaalien leikkauspiste (Kimberlingin tunnus   [5]).[7] Tämä johtuu siitä, että keskisen kolmion korkeusjanat ovat kolmion keskinormaaleilla, joiden leikkauspisteet ovat siksi samat. Keskisen kolmion ulkoympyrä on taas kolmion   yhdeksän pisteen ympyrä ja sisäympyrä on sen Spiekerin ympyrä, jonka keskipiste on Spiekerin piste (Kimberlingin tunnus   [5]).[3][4]

TrilineaaritMuokkaa

Keskisen kolmion kärkien trilineaarit eli trilineaariset koordinaatit ovat

 ,   ja   [8]

Trilineaarinen matriisi on siksi

  [3]

LähteetMuokkaa

ViitteetMuokkaa

  1. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
  2. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.15
  3. a b c d e f g Weisstein, Eric W.: Medial Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. a b c d e Tabirca, Sabin: The Medial Triangle (pdf) York, Irlanti: University College York. Viitattu 27.4.2013. (englanniksi)
  5. a b c Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  6. Bogomolny, Alexander: The Medians (html) cut-the-knot.org. Viitattu 27.4.2013. (englanniksi)
  7. a b Ersoz, Asli: Investigation of the Triangle Centers of the Medial Triangle (html) Georgian Yliopisto. Viitattu 27.4.2013. (englanniksi)
  8. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.14