Kolmion keskinormaalien leikkauspiste

Keskinormaalit leikkaavat toisensa yhteisessä pisteessä.

Kolmion keskinormaalien leikkauspiste on geometriassa piste, joka syntyy jokaisen sivun keskinormaalin kohdatessa toisensa.[1][2][3] Leikkauspiste on eräs kolmion merkillisestä pisteistä ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella . Pisteen nimeksi on valittu monissa kielissä melko samantapainen termi, joka kirjoitetaan englanniksi circumcenter. Se viittaa kolmion ympärille piirrettyyn ympyrään, jonka keskipiste yhtyy leikkauspisteeseen.[4][5][6]

Sijainti kolmiossaMuokkaa

Keskinormaalit ovat kohtisuorassa kolmion sivuihin nähden. Kahden sivun välinen tylppä kulma voi kääntää kahden sivun keskinormaalit lähes yhdensuuntaisiksi, jolloin niiden leikkauspiste jää kauaksi. Leikkauspiste voi siksi sijaita tietysti kolmion sisällä, mutta myös kaukana kolmion ulkopuolella.

 
Kolmion ympäri piirretty ympyrän leikkauspiste sijaitsee samassa kohtaa keskinormaalien (punaiset suorat) leikkauspisteen H kanssa. Säteet on merkitty sinisellä.

Sivun keskinormaali on suora, jonka pisteet sijaitsevat yhtä kaukana molemmista sivun päätepisteistä. Kun näin on laita kaikille kolmion keskinormaaleille, ovat keskinormaalien leikkauspisteen etäisyydet kaikkiin kolmion kärkiin yhtä pitkät. Jos kolmion kärkien kautta piirtää ympyrän, tulee sen säteeksi leikkauspisteen etäisyys kolmion kärkiin.

Kun kolmion sivujen pituudet merkitään   on säteen   pituus

  [7]

Kun kolmiosta tunnetaan kärkiä   vastaavat kulmat  , saadaan Sinilauseesta

  [7][8]

Karteesit koordinaatitMuokkaa

Kolmion kolme kärkeä merkitään  ,  , ja  . Leikkauspisteen   koordinaatit ovat silloin

 
 

missä

 

Trilineaariset koordinaatitMuokkaa

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat : .[3][5][6]

Barysentriset koordinaatitMuokkaa

Pisteen barysentriset koordinaatit ovat

 .[3][9][5]

MuutaMuokkaa

Eulerin suoraMuokkaa

Jos varhain huomattiin, että keskinormaalin leikkauspiste ( ) on kollineaarinen kolmion painopisteen ( ), ortokeskuksen ( ) ja yhdeksän pisteen ympyrän keskipisteen ( ) kanssa. Näiden kautta kulkevaa suoraa kutsutaan Eulerin suoraksi.[10]

EtäisyyksiäMuokkaa

Painopiste G ja ortokeskus O sijaitsevat kolmion muodosta riippumatta Eulerin suoralla tasavälein niin, että HG = 2•GO.[11][4]

Kolmiota ympäröivän ympyrän (säde R) keskipiste eli kolmion keskinormaalien leikkauspiste O ja painopiste G toteuttavat yhtälön  [12]

LähteetMuokkaa

  • Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
  • Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
  • Kurittu Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste) 2006. Jyväskylän: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.

ViitteetMuokkaa

  1. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.98
  2. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.19
  3. a b c Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.9
  4. a b Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.25
  5. a b c Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  6. a b Weisstein, Eric W.: Circumcenter (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. a b Math Open Reference: Circumcircle of a triangle
  8. Math Open Reference: Law of Sines
  9. Weisstein, Eric W.: Barycentric Coordinates (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  10. Kimberling, Clark: Euler line (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  11. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.118
  12. Weisstein, Eric W.: Triangle Centroid (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)