Avaa päävalikko
Triangle.Orthocenter.svg

Ortokeskus liittyy geometriassa kolmioihin, jossa kolmion korkeusjanat, tai niiden jatkeet, kohtaavat yhteisessä leikkauspisteessä, ortokeskuksessa. Ortokeskus on eräs kolmion merkillisestä pisteistä ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella [1][2]

Kun neljästä pisteestä, jotka sisältävät kolmion kolme kärkeä ja ortokeskuksen, valitaan mitkä kolme tahansa, muodostuu niistä kolmio, jonka ortokeskuksena on jäljelle jäänyt neljäs piste. Neljästä pisteestä on syntynyt ortosentrinen systeemi.[1]

Sisällysluettelo

Sijainti kolmiossaMuokkaa

Ortokeskus sijaitsee kolmion sisällä, jos kolmio on teräväkulmainen, suoran kulman kärjessä, jos kolmion on suorakulmainen ja ulkopuolella, jos kolmio on tylppäkulmainen.[3][4]

Ortokeskus sijaitsee kolmion Eulerin suoralla, päin­vastaisella puolella kolmion paino­pistettä eli keskijanojen leikkauspistettä kuin kolmion keskinormaalien leikkauspiste. Sen etäisyys kolmion paino­pisteestä on kaksi kertaa paino­pisteen etäisyys kolmion ympäri piirretyn ympyrän keski­pisteestä.[5]

Karteesiset koordinaatitMuokkaa

Korkeusjanojen leikkauspisteen karteesiset koordinaatit voidaan johtaa käyttämällä sitä tietoa, että sanottu piste sijaitsee Eulerin suoralla, toisella puolella keskijanojen leikkauspistettä kuin kolmion keskinormaalien leikkauspiste ja kaksinkertaisella etäisyydellä.[5] Jos siis käytetään keskijanojen leikkauspisteen koordinaateille merkintää (xg, yg) ja keskinormaalien leikkauspisteen koordinaateille (xo, yo), saadaan ortokeskuksen koordinaateille lauseke

 
 

Sijoittamalla tähän kolmion painopisteen ja keskinormaalien leikkauspisteen koordinaateille johdetut lausekkeet saadaan korkeusjanojen leikkauspisteen koordinaateiksi:

 
 

Trilineaariset koordinaatitMuokkaa

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

 . [1][6]

Barysentriset koordinaatitMuokkaa

Pisteen barysentriset koordinaatit ovat  .[1]

YmpyräMuokkaa

 
Tummansininen kolmio on ortokolmio, jonka sisäisen ympyrän keskipiste yhtyy ortokeskukseen.

Korkeusjanojen kantapisteet voidan yhdistää uudeksi sisäkolmioksi, jota kutsutaan ortokolmioksi. Sen kulmanpuolittajat yhtyvät korkeusjanoihin ja leikkaavat samassa ortokeskuksessa. Ortokolmion sisään piirrettävän ympyrän keskipiste on tuo samainen ortokeskus.[3][7]

Eulerin suoraMuokkaa

Ortokeskus H on eräs Eulerin suoralle osuvista monista pisteistä. Muita vastaavia antiikin ajoista asti tunnettuja pisteitä ovat kolmion painopiste G ja korkeusjanojen leikkauspiste O.[8] Kollineaarisuuden lisäksi ne sijaitsevat kolmion muodosta riippumatta tasavälein niin, että HG = 2•GO.[9][10][11]

LähteetMuokkaa

  • Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
  • Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
  • Kurittu Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste) 2006. Jyväskylän: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.

ViitteetMuokkaa

  1. a b c d Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  2. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.115
  3. a b Math Open Reference: Orthocenter of Triangle
  4. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.9
  5. a b Euler line faculty.evansville.edu. Viitattu 25.4.2013.
  6. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.10
  7. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.116
  8. Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.24
  9. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.25
  10. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.48
  11. Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.118

Aiheesta muuallaMuokkaa