Ortokolmio

Ortokolmioksi kutsutaan geometriassa sellaista kolmiota, joka saadaan yhdistämällä referenssikolmion korkeusjanojen kantapisteet janoilla toisiinsa. Kolmion sivun kantapiste on se kohta, johon vastaisesta kulmasta vedetty korkeusjana, tai korkeusjanan jatke, osuu.[1]

Punaisten korkeusjanojen kantapisteet a, b ja c muodostavat tummansinisen ortokolmion. Ortokolmion sisään voidaan piirtää sen kaikkia sivuja sivuava ympyrä, jonka keskipiste sijaitsee kolmion ortokeskuksessa.

Ortokolmio, joka syntyy kolmion sivuilla olevista pisteistä, luokitellaan sisäkolmioksi. Tällainen ortokolmio on siten eräs kolmion sisäkolmio. Korkeusjanan kantapiste voi jäädä myös kolmion sivun jatkeelle eli kolmion ulkopuolelle, jolloin ortokolmio ei ole enää sisäkolmio. Kaikista sisäkolmioista ortokolmiolla on pienin piiri.[2]

OminaisuuksiaMuokkaa

Jos teräväkulmaisen referenssikolmion   sivujen pituudet ovat   ja sivujen vastaiset kulmat  , ovat sen ortokolmion sivujen pituudet  

 
  ja
  [3]

Ortokolmion pinta-ala on

  [3]

missä R on alkuperäisen kolmion   ympäröivän ympyrän säde.

Referenssikolmion korkeusjanat, tai niiden jatkeet, ovat konkurrentit eli ne leikkaavat samassa pisteessä, jota kutsutaan ortokeskukseksi O. Korkeusjanat lähtevät myös ortokolmion kärjistä puolittaen näiden kulmat. Referenssikolmion ortokeskus on siten ortokolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste.[3][4][5]

Ympäri ja sisään piirretty ympyräMuokkaa

Teräväkulmaisen kolmion korkeusjanat ovat ortokolmion kulmien kulmanpuolittajat.[6] Ortokolmion sisään voidaan piirtää ympyrä siten, että ympyrä sivuaa kaikkia sen sivuja. Tämän ympyrän keskipiste sijaitsee alkuperäisen kolmion ortokeskuksessa O.[1] Ympyrän keskipiste kuuluu Eulerin suoralle.[7] Sisään piirretyn ympyrän säde   on

  [3]

missä R on alkuperäisen kolmion ympäröivän ympyrän säde. Ortokolmion ympäri piirretyn ympyrän säde   on

  [3]

LähteetMuokkaa

ViitteetMuokkaa

  1. a b Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 115–116
  2. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 43
  3. a b c d e Weisstein, Eric W.: Orthic Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. Weisstein, Eric W.: Orthocenter (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Lehtinen, Matti: Geometrian perusteita, s. 40, 2011
  6. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 26
  7. Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 48

Aiheesta muuallaMuokkaa

  • University College Cork: Orthic Triangle (matematiikan olympialaisten valmennusmateriaalia)