Piiri (geometria)

Piiri (tunnus p) on geometriassa tasokuviota rajaava reunakäyrä eli -viiva. Piirillä voidaan tarkoittaa myös reunan pituutta. Monikulmion tapauksessa piiri muodostuu monikulmion sivuista ja monikulmion piirin pituus on sivujen pituuksien summa. Ympyrän piiriä kutsutaan kehäksi. Tasokuvio voi yleisessä tapauksessa olla muodoltaan mikä tahansa, mutta piiri syntyy vain käyrästä, jossa jokainen piste muodostaa viivamaisen jatkumon, ja jota pitkin ympäri kulkemalla päätyy lopulta lähtöpisteen takaisin. Tämä voidaan sanoa niinkin, että piiri erottaa tasosta yhtenäisen alueen.

Puolipiiriksi s kutsutaan piirin puolikasta, jonka pituus on $s={\tfrac {1}{2}}p$. Tällä arvolla on yllättävän suuri merkitys esimerkiksi kolmion (Heronin kaava) ja nelikulmion (Brahmaguptan kaava) pinta-alan laskemisessa. Sama kytkös toistuu myös isoperimetrisessä epäyhtälössä.

Piirin geometrinen pituus

Piirin pituuden määrittämisen on ollut alkeisgeometriassa aina tärkeä ongelma johtuen muun muassa rakennusteknisistä tai maanmittauksellisista syistä. Tasoalueen piiri on käytännönläheinen käsite, kun kyseessä on monikulmioiden, ympyröiden ja muiden kartioleikkauksien sekä sileäreunaisten alueiden piiri. Piiri voidaan silloin mitata asettamalla naru kulkemaan kuvion reunoja pitkin alueen ympäri. Oikasemalla naru tämän jälkeen, voidaan sen pituus mitata asettamalla se suoraa mitta-asteikkoa vasten. Piirretyille tai kuvitteellisille kuvioille piirin määrittämiseen tulevat kyseeseen vain geometriseen päättelyyn perustuvat menetelmät.

Monikulmiot

Monikulmiot voidaan ajatella murtoviivoiksi, joiden vapaat päät on yhdistetty toisiinsa. Suljetun tasoalueen piiri muodostuu sivuista, joiden yhteispituus vastaa koko piirin pituutta. Seuraavassa joidenkin tunnettujen monikulmioiden pituuksia.

• 
  Kolmio: $p=a+b+c$
• 
  Nelikulmio: $p=a+b+c+d$
• 
  Neliö: $p=4s$
• 
  Suorakulmio: $p=2(a+b)$
• 
  Suunnikas: $p=2(a+b)$

Kartioleikkaukset

Ympyrän piirin eli kehän pituuden määrittäminen on ollut geometrian historiassa ongelma, jonka tarkka mittaaminen on riippunut kehän pituuden ja ympyrän halkaisijan suhteen, eli piin arvon, tuntemisesta. Irrationaalilukuna pii (merkitään $\pi$) voidaan esittää laskuissa likiarvoisena lukuarvona, joten myös kehän pituus voidaan esittää vain likiarvona. Myös ellipsi on kartioleikkaus. Sen piiri opittiin laskemaan varsin myöhään, mutta sen lauseketta ei voida kuitenkaan ilmaista alkeisfunktioiden avulla.

• 
  Ympyrä: $p=2\pi r$
• 
  Ympyrä: $p=\pi d$
• 
  Ellipsi

Suljetun käyrän pituus

Kochin hiutaleen piiri on pituudeltaan ääretön, vaikka sen ala on vain ${\tfrac {8}{5}}$ alkuperäisen kolmion alasta.

Yleisessä tapauksessa tasoalueen piirin pituus voidaan joskus määrittää viivaintegraalina pitkin polkua S

$p=\oint _{S}ds,$

joka ellipsin tapauksessa olisi parametrimuotoon kirjoitettuna

$p=4\ a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}\sin ^{2}{t}}}\;dt,$

missä $a$ on isoakselin puolikkaan pituus ja $\epsilon$ käyrän eksentrisyys.

Fraktaalisen alueen piiri

Kochin lumihiutaleessa on "ei niin sileä" pinta, koska se muodostuu tasasivuisesta kolmiosta lisäämällä sen sivujen keskikohtiin pienempiä tasasivuisia kolmioita. Kun uuteen kuvioiin toistetaan tämä prosessi äärettömän monta kertaa, saadaan Kochin lumihiutale. Kochin hiutaleen rakentamisen aikana kuvion piiri on äärellisen pituinen, vaikka sen pinta-ala kasvaakin koko ajan. Kolmion ala kasvaa lopulta 1,6-kertaiseksi samalla kun piiri venyy äärettömän pitkäksi.

Rannikko on luonteeltaan fraktaalinen viiva.

Saman ongelman käytännöllinen tilanne kohdataan mitattaessa kartalta esimerkiksi Ranskan Bretagnen rannikon pituutta. Rantaviiva vastaa Bretagnen alueen ympäri mutkittelevaa piiriä, mutta sen luonne on fraktaalinen. Pienellä mittakaavalla piirretyssä kartassa saadaan piiriksi pienempi pituus kuin suuremman mittakaavan kartassa. Todellisen rannikon rannanpituutta ei voidakaan mitata äärellisellä mitalla, ellei ensin sovita, minkä mittakaavan pituuksia aiotaan mitata. Normaalisti metrin pituinen rantaviiva voi mikroskoopilla katsottuna näkyä hyvin mutkikkaana ja sen pituudeksi voidaan saada vaikkapa kilometri. Piirin mitta on hyvin määritelty tasogeometrian perinteisillä kuvioilla, mutta se ei ole aina käyttökelpoinen fraktaalisilla kuvioilla. Tätä erikoista ominaisuutta kutsutaan rantaviivaparadoksiksi.

Lähteet

• Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 16.4.2014).
• Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 3. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi, 2005. ISBN 978-951-26-5059-0.