Helpoiten muistettava muoto Brahmaguptan kaavasta antaa jännenelikulmion, jonka sivun pituudet ovat a , b , c ja d , pinta-alan:
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
,
{\displaystyle {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}},}
missä s on nelikulmion piirin puolikas:
s
=
a
+
b
+
c
+
d
2
.
{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}
[1] [2] Brahmaguptan kaavan todistus
muokkaa
Jännenelikulmio Jännenelikulmion pinta-ala = Kolmion
△
A
D
B
{\displaystyle \triangle ADB}
△
B
D
C
{\displaystyle \triangle BDC}
=
1
2
p
q
sin
A
+
1
2
r
s
sin
C
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C}
Koska
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
∠
D
A
B
=
180
∘
−
∠
D
C
B
.
{\displaystyle \angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB.}
sin
A
=
sin
C
,
{\displaystyle \sin A=\sin C,}
A
l
a
=
1
2
p
q
sin
A
+
1
2
r
s
sin
A
{\displaystyle Ala={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A}
(
A
l
a
)
2
=
1
4
sin
2
A
(
p
q
+
r
s
)
2
{\displaystyle (Ala)^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(pq+rs)^{2}}
4
(
A
l
a
)
2
=
(
1
−
cos
2
A
)
(
p
q
+
r
s
)
2
{\displaystyle 4(Ala)^{2}=(1-\cos ^{2}A)(pq+rs)^{2}\,}
4
(
A
l
a
)
2
=
(
p
q
+
r
s
)
2
−
c
o
s
2
A
(
p
q
+
r
s
)
2
{\displaystyle 4(Ala)^{2}=(pq+rs)^{2}-cos^{2}A(pq+rs)^{2}\,}
Soveltamalla kosinilausetta kolmioihin
△
A
D
B
{\displaystyle \triangle ADB}
△
B
D
C
{\displaystyle \triangle BDC}
p
2
+
q
2
−
2
p
q
cos
A
=
r
2
+
s
2
−
2
r
s
cos
C
{\displaystyle p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C\,}
Sijoittamalla
cos
C
=
−
cos
A
{\displaystyle \cos C=-\cos A}
A
{\displaystyle A}
C
{\displaystyle C}
suplementtikulmia ) ja järjestelemällä termejä saadaan
2
cos
A
(
p
q
+
r
s
)
=
p
2
+
q
2
−
r
2
−
s
2
.
{\displaystyle 2\cos A(pq+rs)=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.}
Sijoittamalla tämä pinta-alan kaavaan saadaan
4
(
A
l
a
)
2
=
(
p
q
+
r
s
)
2
−
1
4
(
p
2
+
q
2
−
r
2
−
s
2
)
2
{\displaystyle 4(Ala)2=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}
16
(
A
l
a
)
2
=
4
(
p
q
+
r
s
)
2
−
(
p
2
+
q
2
−
r
2
−
s
2
)
2
{\displaystyle 16(Ala)^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}\,}
joka edelleen voidaan kirjoittaa muodossa
(
2
(
p
q
+
r
s
)
+
p
2
+
q
2
−
r
2
−
s
2
)
(
2
(
p
q
+
r
s
)
−
p
2
−
q
2
+
r
2
+
s
2
)
{\displaystyle (2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})(2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2})\,}
=
(
(
p
+
q
)
2
−
(
r
−
s
)
2
)
(
(
r
+
s
)
2
−
(
p
−
q
)
2
)
{\displaystyle =((p+q)^{2}-(r-s)^{2})((r+s)^{2}-(p-q)^{2})\,}
=
(
p
+
q
+
r
−
s
)
(
p
+
q
+
s
−
r
)
(
p
+
r
+
s
−
q
)
(
q
+
r
+
s
−
p
)
{\displaystyle =(p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p)\,}
Koska
T
=
p
+
q
+
r
+
s
2
,
{\displaystyle T={\frac {p+q+r+s}{2}},}
16
(
A
l
a
)
2
=
16
(
T
−
p
)
(
T
−
q
)
(
T
−
r
)
(
T
−
s
)
{\displaystyle 16(Ala)^{2}=16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)\,}
ja lopulta
A
l
a
=
(
T
−
p
)
(
T
−
q
)
(
T
−
r
)
(
T
−
s
)
{\displaystyle Ala={\sqrt {(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}}}
Brahmaguptan kaava yleisessä nelikulmiossa
muokkaa
Yleisen nelikulmion pinta-alan laskemisessa tarvitaan sivujen pituuksien lisäksi tietää nelikulmion vastakkaisten kulmien summa:
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
a
b
c
d
cos
2
θ
{\displaystyle {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}}
missa
θ
{\displaystyle \theta }
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
↑ Nimekästä geometriaa. Matematiikkakilpailut.fi . Arkistoitu 9.3.2016. Viitattu 13.2.2021. ↑ Rajesh, Sadagopan: I dare to find a proof : Area of a Cyclic Quadrilateral : Brahmagupta’s Theorem. At Right Angles , Heinäkuu 2013, 2. vsk, nro 2. Artikkelin verkkoversio . Viitattu 13.2.2021. (englanniksi) (Arkistoitu – Internet Archive)
Aiheesta muualla
muokkaa
