Brahmaguptan kaava

Brahmaguptan kaavalla voidaan löytää geometriassa mielivaltaisen nelikulmion pinta-ala. Yleisimmässä erikoistapauksessaan sillä voidaan laskea jännenelikulmion pinta-ala.

PerusmuotoMuokkaa

Helpoiten muistettava muoto Brahmaguptan kaavasta antaa jännenelikulmion, jonka sivun pituudet ovat a, b, c ja d, pinta-alan:

 

missä s on nelikulmion piirin puolikas:

 [1][2]

Brahmaguptan kaavan todistusMuokkaa

 
Jännenelikulmio

Jännenelikulmion pinta-ala = Kolmion   pinta-ala + kolmion   pinta-ala:

 

Koska   on jännenelikulmio, on   Siis   joten

 
 
 
 

Soveltamalla kosinilausetta kolmioihin   ja   saadaan

 

Sijoittamalla   (koska kulmat   ja   ovat toistensa suplementtikulmia) ja järjestelemällä termejä saadaan

 

Sijoittamalla tämä pinta-alan kaavaan saadaan

 
 

joka edelleen voidaan kirjoittaa muodossa

 
 
 

Koska   on

 

ja lopulta

 

Brahmaguptan kaava yleisessä nelikulmiossaMuokkaa

Yleisen nelikulmion pinta-alan laskemisessa tarvitaan sivujen pituuksien lisäksi tietää nelikulmion vastakkaisten kulmien summa:

 

missa   on puolet vastakkaisten kulmien summasta. Koska jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa on  , voidaan yleistä kaavaa käyttää jännenelikulmion pinta-alan laskemiseen.

ErikoistapausMuokkaa

Brahmaguptan kaavan erikoistapauksena saadaan Heronin kaava.

LähteetMuokkaa

  1. Nimekästä geometriaa. Matematiikkakilpailut.fi. Arkistoitu 9.3.2016. Viitattu 13.2.2021.
  2. Rajesh, Sadagopan: I dare to find a proof : Area of a Cyclic Quadrilateral : Brahmagupta’s Theorem. At Right Angles, Heinäkuu 2013, 2. vsk, nro 2. Artikkelin verkkoversio Viitattu 13.2.2021. (englanniksi)

Aiheesta muuallaMuokkaa