Puolipiiri

Puolipiiri eli piirin puolikas tarkoittaa geometriassa monikulmion tai muun tasokuvion piirin jakamista kahteen yhtäpitkään osaan, joiden yhteinen pituus on koko kuvion piiri. Puolipiirillä voidaan tarkoittaa myös sitä käyrää tai murtoviivaa, joka muodostaa kuvion piirillä sen pituuden puolikkaan mittaisen kuvion. Tällöin samalle kuviolle voidaan esittää lukemattomia puolipiirejä.

Vaikka termin tunteminen ei ole geometriassa välttämätöntä, sillä voidaan yksinkertaistaa monia geometrian laskukaavoja. Jos merkitään piiriä $p$ (engl. perimeter) ja puolipiiriä $s$ (engl. semiperimeter), voidaan esittää

$s={\tfrac {1}{2}}p$.

Esimerkiksi kolmion puolipiirin pituus saadaan sivujen pituuksien summan puolikkaasta

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

ja muidenkin monikulmien puolipiirit vastaavalla tavalla. Ympyrän (säde $r$) puolipiiri lasketaan $s={\tfrac {1}{2}}(2\pi r)=\pi r$ ja neliön (sivu $a$) $s={\tfrac {1}{2}}(4a)=2a$.

Kolmio

Jos annetaan tasokuviosta piirin piste, voidaan aina määrittää toinen piste, joka jakaa piirin kahteen puolipiiriin. Jokainen tasokuvion piirin piste määrittää yksikäsitteisesti kaksi puolipiiriä. Nämä kohtaavat toisensa näissä kahdessa pisteessä.

Yleisiä ominaisuuksia

Kolmion kärjestä mitatut puolipiirit kohtaavat aina kolmion vastaisella sivulla. Tämän voi päätellä seuraavasti. Jos yksi sivuista on yli puolet kolmion piiristä, jää kahdelle muulle sivulle alle puolet piiristä. Tällöin puolipiirit kohtaisivat ensimmäisellä sivulla. Tämä on kolmiossa kuitenkin mahdotonta, koska kaksi jäljellä olevaa sivua eivät yhdessäkään ylettyisi ensimmäisen sivun päätepisteisiin.

Janaa, jolla yhdistetään kolmion kärki kolmion vastaisen sivun pisteeseen, kutsutaan ceviaaniksi. Jos ceviaani yhdistetään kärjestä alkavien puolipiirien kohtaamispisteeseen, saadaan jana, jota kutsutaan engl. splitteriksi. Kolme tällaista janaa leikkaavat toisensa Nagelin pisteessä.

Janaa, joka alkaa kolmion sivun keskipisteestä ja jakaa kolmion kahteen puolipiiriin, kutsutaan engl. cleaveriksi. Kolmen tällaisten janan leikkauspisteessä sijaitsee kolmion piirin painopiste eli Spiekerin piste.

Kolmion sivujen keskipisteet yhdistämällä saadaan keskinen kolmio. Keskisen kolmion piiri on alkuperäisen kolmion puolipiiri, sillä sen jokainen sivu on puolet alkuperäisen kolmion yhdensuuntaisesta sivusta.

Laskusääntöjä

Kolmion pinta-ala voidaan laskea puolipiirin $s$ avulla, kun ensin selvitetään sisäympyrän säde $r$

$A=rs.$

Ellei sisäympyrää tunneta, voidaan ala laskea myös kolmion sivujen pituuksien $(a,b,c)$ avulla käyttäen Heronin kaavaa

$A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.$

Kolmion sisäympyrän säde $r$ saadaan

$r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}$

ja kolmion ulkoympyrän säde $R$ saadaan

$R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}.$

Nelikulmio

Nelikulmion puolipiirin pituus saadaan sivujen pituuksien $(a,b,c,d)$ avulla

$s={\frac {a+b+c+d}{2}}.$

Syklisen nelikulmion pinta-ala saadaan sivujen pituuksien $(a,b,c,d)$ avulla käyttäen Brahmaguptan kaavaa

$A={\sqrt {\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}}.$

Yleisen nelikulmion tapaukselle on yleisempi Bretschneiderin lause.

Lähteet