Nagelin piste

Nagelin piste on eräs kolmion merkillisestä pisteistä ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella . Kolmion sivut jatketaan suorilla ja suorien väliin piirretään niin suuret ympyrät, että ne sivuavat kukin kaikkia suoria kerran. Tällaisia ympyröitä on neljä, kun mukaan lasketaan kolmion sisään piirretty ympyrä. Muut, kolmion ulkoiset ympyrät, sivuavat kolmiota pisteissä, jotka otetaan ceviaanien kantapisteiksi. Ceviaanien yhteinen leikkauspiste on nimeltään Nagelin piste.[1] Piste on nimetty Christian Heinrich von Nagelin (1803–1882) mukaan.[2]

Kolmion muodostaneiden suorien väliin piirretään ympyrät siten, että ne sivuavat niitä kolmesta kohtaa. Kolmion sivujen sivuamiskohdat otetaan kantapisteiksi kolmelle ceviaanille, joiden leikkauspisteessä Nagelin piste on.

Toinen määritelmä Nagelin pisteelle ei hyödynnä ympyröitä. Mitataan kärjestä A paikka vastaisella sivulla, joka on puolimatkassa kolmion ympäri, eli mitataan kolmion puolipiirin päätepisteen paikka, jota kutsutaan kantapisteeksi. Kustakin kärjestä merkitään muut kantapisteet samalla tavalla. Kärkien ja kantapisteiden väliset janat leikkaavat toisensa Nagelin pisteessä. Tämäkin menetelmä on todistettu alla.[3]

Sijainti kolmiossaMuokkaa

Nagelin piste sijaitsee aina kolmion sisällä. Tämän näkee siitä, että ceviaani kulkee kolmion kärjen ja kolmion sivun sivuamispisteen välillä. Kaikkien tällaisten janojen leikkauspiste jää siksi kolmion sisään.

Tasasivuisen kolmion sivusuorat asettuvat symmetrisesti sivuavien ympyröiden ympärille, jolloin sivun tangenttipiste jää keskelle kolmion sivulle. Koska ceviaani on tällöin keskijana, leikkaavat ne toisensa painopisteessä.

Tasakylkisen kolmion kylkien sivuamispisteet asettuvat symmetrian vuoksi samalle korkeudelle. Kun kannan sivuamispiste tulee keskelle kantaa, jää Nagelin piste kolmion symmertiajakajalle eli korkeusjanalle.

Trilineaariset koordinaatitMuokkaa

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

 .[1]

Barysentriset koordinaatitMuokkaa

Pisteen barysentriset koordinaatit ovat

  [1][4]

TodistusMuokkaa

 
Nagelin piste on aina olemassa. Tekstin todistelu seuraa kuvan merkintöjä.

Todistetaan, että kolmion   mainitut ceviaanit leikkaavat toisensa yhteisessä pisteessä. Tekstissä seurataan viereisen kuvan merkintöjä. Kolmion sivujen jatkeet, eli sivusuorat, ovat ympyrän tangentteja, jossa esimerkiksi sivun   tangenttipiste on   ja sivun   tangenttipiste on  . Nyt janojen   ja   pituudet ovat samat, koska ne ovat saman pisteen kautta kulkevat yhteisen ympyrän tangentteja. Merkitsemällä janan pituutta pystyviivoilla, saadaan  .

Merkitään kärjen   vastaisen sivun   tangenttipistettä   ja tarkastellaan janojen pituuksia ensin kärken   kannalta. Kärjen   vasemman sivulla kärjessä   risteää kaksi sivusuoraa, jotka voidaan myös tulkita yhteisen ympyrän tangenteiksi. Silloin on   (1). Vastaava tilanne on pisteessä  , jossa   (2). Kun jana   kirjoitetaan pisteen   avulla murtoviivana   ja   vastaavasti  , voidaan edellisestä ((1) ja (2)) johtuen kirjoittaa   ja  .

Edellinen havainto tulkitaan seuraavasti. Kärjestä   on vastaiselle sivulle pisteeseen   yhtä pitkä matka kuljettiinpa kärjen   tai   kautta. Matka on puolet kolmion piiriin pituudesta. Samanlainen tarkastelu tuottaa vastaavan tuloksen kärkien   ja   osalta, jolloin pisteet   ja   ovat puolen piirin matkan päässä vastinkärjistään. Tämän vuoksi voidaan merkitä yhtäpitkiksi janat   ja  .

Edelleen, kun esimerkiksi suoran   janat   eli   ja   eli   sisältävät yhteisen osan  , ovat myös päät   ja   yhtäpitkät. Soveltamalla ideaa kaikille sivuille, voidaan kirjoittaa

  •  , koska  , ja
  •  , koska   , ja vielä
  •  , koska  .

Cevan lausetta mukaellen

 

Cevan lauseen mukaan janat  ,   ja   ovat konkurrentit.[2]

LähteetMuokkaa

ViitteetMuokkaa

  1. a b c Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  2. a b Matematiikkakilpailut.fi: Nimekästä geometriaa (Arkistoitu – Internet Archive), Matematiikan olympialaisten valmennusmateriaalia
  3. Kimberling, Clark: Nagel Point
  4. Weisstein, Eric W.: Barycentric Coordinates (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Aiheesta muuallaMuokkaa