Neutraalialkio

algebrallinen käsite

Joukon alkio on neutraalialkio eli identiteetti jonkin joukossa määritellyn binäärioperaation suhteen, jos ja kaikilla .[1] Neutraalialkio ei siis "muuta" toista alkiota tässä operaatiossa.[2] Neutraalialkio on yksikäsitteinen (jos se on olemassa).[3]

Esimerkiksi reaalilukujen (samoin kokonaislukujen ja rationaalilukujen) yhteenlaskun neutraalialkio on 0 ja kertolaskun 1. Tietynkokoisten neliömatriisien matriisikertolaskun neutraalialkio on identiteettimatriisi. Jos S on parillisten lukujen joukko, sillä ei ole neutraalialkiota kertolaskun suhteen (ei edes oikeaa eikä vasenta).

Vasen neutraalialkio toteuttaa ehdon ja oikea neutraalialkio ehdon kaikilla . Jos binäärioperaatiolle on olemassa sekä vasen että oikea neutraalialkio, ne ovat yksikäsitteisiä ja samat (siis kaksipuolinen neutraalialkio eli neutraalialkio).[3]

Kertolaskun neutraalialkiota kutsutaan joskus ykkösalkioksi ja yhteenlaskun neutraalialkiota nolla-alkioksi.[2] Yksikkö saattaa tarkoittaa mitä tahansa kääntyvää alkiota (kertolaskun suhteen).[4]

Kirjain tulee saksankielisestä sanasta Einheit.[5]

Formaalinen määritelmä ja nimityksiä

muokkaa

Olkoon operaatio   joukossa   määritelty binäärioperaatio (eli  ).

Joukon   alkio   on vasemmanpuoleinen neutraalialkio, jos   kaikilla joukkoon kuuluvilla alkioilla  . Samoin, jos   kaikilla joukkoon   kuuluvilla alkioilla  , on   oikeanpuoleinen neutraalialkio. [2]

Jos   on sekä vasemman- että oikeanpuoleinen neutraalialkio eli   kaikilla  , sitä kutsutaan neutraalialkioksi.[2] Tällöin pari   on monoidi, jos lisäksi   on assosiatiivinen.[6]

Esimerkkejä

muokkaa

Neutraalialkioita voi olla useitakin ellei peräti äärettömän monta. Määritelkäämme vallan erikoinen laskutoimitus   seuraavasti:   missä   Tällöin mikä tahansa reaaliluku, esimerkiksi luku 2, on oikeanpuoleinen neutraalialkio, koska määritelmän mukaan   Sen sijaan vasenmmanpuoleista neutraalialkiota ei ole. Määrittelemällä   on tilanne päinvastainen. [7]

Joskus neutraalialkioita ei ole olemassa. Jos lukujoukko koostuu luonnollisista luvuista  , ei ole olemassa neutraalialkiota tavallisella kertolaskulla (koska luku 1 puuttuu). Samoin käy parille  , kun laskutoimitus määritellään  [7]

Määriteltäköön reaaliluvuille laskutoimitus  , jossa   Luku yksi on tämän laskutoimituksen vasemman- ja oikeanpuoleinen neutraalialkio, sillä   ja   [7]

Vaikka e olisi joukon S operaation * neutraalialkio, voi olla olemassa S:n osajoukko T, johon e ei kuulu ja joka on silti suljettu operaation * suhteen neutraalialkionaan jokin toinen alkio f. Itse asiassa S ja T voivat olla jopa ykkösellisiä renkaita samoilla operaatioilla.[2]

Muita esimerkkejä

muokkaa
joukko binäärioperaattori neutraalialkio
reaaliluvut yhteenlasku ( + ) 0 [8]
reaaliluvut kertolasku ( · ) 1 [9]
vektorit yhteenlasku ( + ) nollavektori
n x n neliömatriisi yhteenlasku ( + ) nollamatriisi [8]
n x n neliömatriisi kertolasku ( · ) yksikkömatriisi [9]
kaikki funktiot joukosta M itseensä yhdistetty funktio ( o ) identiteettifunktio
merkkijonot yhdistäminen tyhjä merkkijono
vain kaksi alkiota {e, f} * määritelty niin että e * e = f * e = e ja
f * f = e * f = f
e ja f ovat molemmat vasemmanpuoleisia neutraalialkioita, mutta ei ole olemassa oikean- tai molemmanpuoleista neutraalialkiota.

Kuten viimeinen esimerkki näyttää, on mahdollista että (S,×):lla on useampi kuin yksi vasemmanpuoleinen identiteetti. Samoin voi olla olemassa useita oikeanpuoleisia identiteettejä. Mutta jos joukossa on olemassa sekä oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen identiteetti, ne ovat yhteneviä ja onkin oikeastaan olemassa vain yksi molemmanpuoleinen identiteetti. Tämän todistamiseksi merkitään vasenta identiteettiä v:llä ja oikeaa o:lla. Tällöin v = v × o = o. Tästä seuraa myös, ettei ryhmällä voi olla useampia kuin yksi molemmanpuoleinen identiteetti.

Neutraalialkio ja käänteisalkio

muokkaa

Luvun   käänteisalkio   ovat lukuja, jotka muodostavat laskutoimituksessa neutraalialkion   eli  . Jos parilla   on vain yksi neutraalialkio, on jokaisella muulla luvulla yksikäsitteinen käänteisalkio. [7]

Katso myös

muokkaa

Lähteet

muokkaa
  1. Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 35–36. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0
  2. a b c d e Häsä, Jokke: Algebra II (pdf) (Luku 0: Kertausta (luentomoniste)) 2010. Helsinki: Helsingin yliopisto. Arkistoitu 5.1.2012.
  3. a b Jouni Parkkonen: Renkaat ja kunnat (sivut 4-5) 12.1.2021. Jyväskylän yliopisto.
  4. Jokke Häsä: Algebra II (sivu 5: 0\ne 1) kevät 2010. Helsingin yliopisto.
  5. Weisstein, Eric W.: Identity Element (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. Weisstein, Eric W.: Monoid (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. a b c d Dr. Marcel B. Finan: MATH 4033: Elementary Modern Algebra (pdf) (Luku 3. Binary operations (luento)) Arkansas: Arkansas Tech University. Arkistoitu 4.4.2015. (englanniksi)
  8. a b Barile, Margherita: Additive Identity (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  9. a b Barile, Margherita: Multiplicative Identity (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Aiheesta muualla

muokkaa