Käänteisalkion käsite liittyy abstraktiin algebraan, jossa kahden joukkoon kuuluvan alkion binäärioperaation laskutulos on joukon neutraalialkio eli [1] Tällöin sanotaan, että ja ovat toistensa käänteisalkioita. Käänteisalkion nimitys tulee reaalilukujen kertolaskusta, jossa neutraalialkio on luku 1 ja jokaisella luvulla on olemassa yksi käänteisluku , jolle

Formaali määritelmä, nimitykset ja merkinnätMuokkaa

Alkiolla   on vasemmanpuoleinen käänteisalkio  , jos   ja oikeanpuoleinen käänteisalkio, jos   Mikäli alkiolla on samanaikaisesti sekä vasemmanpuoleinen- että oikeanpuoleinen käänteisalkio, sanotaan vain, että sillä on olemassa käänteisalkio.[2][3] Jos alkiolla on olemassa käänteisalkio sanotaan, että alkio on kääntyvä.[4]

Jos laskutoimitusta pidetään luonteeltaan multiplikatiivisena, merkitään alkion   käänteisalkiota  . Jos se taas on additiivinen, se merkitään kuten vastaluvutkin yhteenlaskussa eli  .[3][5][6]

EsimerkkejäMuokkaa

Kokonaislukujen joukossa pari   sisältää vain muutaman käänteisalkion eli käänteisluvun, kun laskutoimitus   on kertolasku. Selvästikään luvulla 2 ei ole käänteislukua olemassa, koska sen pitäisi olla  . Ainoat luvut, jolla on olemassa käänteisluvut, ovat -1 ja 1. Näiden käänteisluvut ovat luvut itse.[2]

Jos määritetään erikoinen laskutoimitus   kokonaislukujen joukossa. Jos valitaan ensin kokonaisluku  , voidaan laskea sille käänteisalkio ehdosta  . Sillä on oikeanpuoleinen käänteisluku  , koska  . Sama voidaan osoittaa vasemmanpuoleisesti.[2]

Funktioiden joukossa  , missä   on funktioiden määrittely- ja arvojoukko, identtinen kuvaus   on yhdisteen   neutraalialkio. Silloin voidaan määritelmän mukaan kirjoittaa   Jos   on bijektio, on   funktion   käänteiskuvaus laskutoimituksen   suhteen ja  . Muilla joukon   alkioilla, jotka eivät ole bijektioita, ei ole käänteiskuvausta.[3]

Käänteisalkiot algebrassaMuokkaa

Lukujoukko ja laskutoimitus muodostavat parin, joka voi olla monoidi. Monoidilla ei tarvitse olla käänteisalkioita, vaikka sillä on neutraalialkio.[7] Sen sijaan ryhmällä on käänteisalkiot, sillä se saadaan monoidista vaatimalla jokaiselle alkiolle yksikäsitteinen käänteisalkio.[8] Kun ryhmälle tehdään laajennus toisella laskutoimituksella, tulee vähintään additiivisella laskutuimituksella olla käänteisalkiot. Tätä algebraa kutsutaan renkaaksi.[9] Jos sekä additiivisella- että multiplikatiivisella laskutoimituksella on molemmilla olemassa käänteisalkiot, kutsutaan sitä kunnaksi.[10][11]

Aiheesta muuallaMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 47. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
  2. a b c Dr. Marcel B. Finan: MATH 4033: Elementary Modern Algebra (pdf) (Luku 3. Binary operations (luento)) Arkansas: Arkansas Tech University. (englanniksi)
  3. a b c Turunen, Esko: MAT–41150 Algebra 1(s)
  4. Häsä, Jokke: Algebra II (pdf) (Luku 0: Kertausta (luentomoniste)) 2010. Helsinki: Helsingin yliopisto.
  5. Barile, Margherita: Additive Inverse (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. Barile, Margherita: Multiplicative Inverse (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. Weisstein, Eric W.: Monoid (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. Rowland, Todd & Weisstein, Eric W.: Group (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  9. Weisstein, Eric W.: Ring (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  10. Weisstein, Eric W.: Field (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  11. Barile, Margherita: Invertible Element (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)