Cauchyn–Schwarzin epäyhtälö

Matematiikassa Cauchyn epäyhtälö, Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö, Schwarzin epäyhtälö tai Cauchyn-Bunjakovskin-Schwarzin epäyhtälö on kuuluisa ja monissa tilanteissa hyödyllinen epäyhtälö, jonka nimen taustalla ovat Augustin Louis Cauchy, Viktor Jakovlevitš Bunjakovski ja Hermann Amandus Schwarz. Epäyhtälö on käytössä lineaarialgebrassa vektoriavaruuksien yhteydessä, analyysissä sarjateoriassa ja sarjojen integroinnissa ja todennäköisyyslaskennassa varianssien ja kovarianssien yhteydessä.

Epäyhtälön mukaan reaali- tai kompleksivektoreiden x ja y sisätulolle on voimassa

Epäyhtälössä on voimassa yhtäsuuruus jos ja vain jos x ja y ovat lineaarisesti riippuvia tai, jos x ja y tulkitaan vektoreiksi, yhdensuuntaisia.

Tärkeä seuraus Cauchyn epäyhtälöstä on se, että sisätulo on jatkuva funktio.

Toinen muoto Cauchyn epäyhtälölle saadaan sisätulon indusoiman eukleidisen normin avulla lausuttuna:

Tilastotieteessä seuraavaa epäyhtälöä kutsutaan Cauchyn–Schwarzin epäyhtälöksi[1]: Satunnaismuuttujille ja on voimassa

Cauchyn epäyhtälön todisti Cauchy vuonna 1821 äärellisessä tapauksessa. Yleisen tapauksen todisti Bunjakovski vuonna 1859.

TodistusMuokkaa

Epäyhtälö on selvästi tosi tapauksessa y = 0, joten voidaan olettaa, että <y, y> on nollasta poikkeava. Olkoon   kompleksiluku. Tällöin

 
 

Valitsemalla

 

saadaan

 

mikä on voimassa jos ja vain jos

 

eli yhtäpitävästi:

 

Q.E.D.

Merkittäviä erikoistapauksiaMuokkaa

  Erityisesti kun n=2 tai 3, jos pistetulo määritellään kahden vektorin väliseksi kulmaksi, saadaan välittömästi epäyhtälö:  . Tämä voidaan johtaa myös Lagrangen identiteetistä jättämällä pois joitakin termejä.
  • Neliöllisesti integroituvien kompleksisten funktioiden sisätuloavaruudessa on voimassa
 

Näiden epäyhtälöiden yleistys on nimeltään Hölderin epäyhtälö.

  • Tapauksessa n=3 epäyhtälöstä on olemassa vahvempi yhtälö:
 

KäyttöMuokkaa

Sisätuloavaruuksien kolmioepäyhtälö todistetaan usein Cauchyn epäyhtälön avulla seuraavasti: Olkoon x ja y annetun sisätuloavaruuden kaksi vektoria. Tällöin

   
 
 
 
 

Ottamalla puolittain neliöjuuri saadaan kolmioepäyhtälö.

Cauchyn epäyhtälöä käytetään todistamaan Besselin epäyhtälö.

LähteetMuokkaa

  1. Casella, Berger:Statistical Inference Second Edition, Duxbury advancd series

KirjallisuuttaMuokkaa