Lipschitz-jatkuvuus

Lipschitz-jatkuvuus on matemaattinen termi tietyntyyppiselle metristen avaruuksien välisen funktion jatkuvuudelle. Lipschitz-jatkuvuus on rajoittavampi ehto kuin funktion jatkuvuus. Erityisesti jokainen Lipschitz-jatkuva funktio on jatkuva.^[1]

Määritelmä

Metristen avaruuksien $(X,d)$ ja $(Y,d')$ välinen funktio $f:X\rightarrow Y$ on Lipschitz-funktio, Lipschitz-kuvaus tai lyhyemmin Lipschitz, jos on olemassa sellainen luku $L\geq 0$ , että

d'(f(x),f(y))\leq L\cdot d(x,y)

kaikilla $x,y\in X$ .^[2] Tällöin sanotaan $f$ :n olevan L-Lipschitz^[2]. Eli esimerkiksi vakiokuvaus on 0-Lipschitz. Pienintä lukua $L$ , joka toteuttaa yllä olevan epäyhtälön, kutsutaan funktion $f$ Lipschitz-vakioksi. Funktiota, joka on Lipschitz vakiolla $0\leq L<1$ , kutsutaan kontraktioksi^[3].

Lipschitz-funktion ominaisuuksia

Jokainen Lipschitz-funktio on absoluuttisesti jatkuva, ja Rademacherin lauseen mukaan Rⁿ:n avoimessa osajoukossa A määritelty Lipschitz-funktio on derivoituva melkein kaikissa A:n pisteissä.

Lähteet

Väisälä, Jussi: Topologia I, 5. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2012. ISBN 978-951-745-216-8

Viitteet

↑ Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 354–355 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.
↑ ^a ^b Väisälä 2012, 36
↑ Väisälä 2012, 91

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.

[p1-1] Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 354–355 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

[Vaisala_2012_I_36-2] Väisälä 2012, 36

[Vaisala_2012_I_91-3] Väisälä 2012, 91

[1]

[2]

[3]