Avaa päävalikko

Momentti (tilastotiede)

(Ohjattu sivulta Keskusmomentti)

Momentti on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan jakaumasta määritelty tunnusluku, joka luonnehtii jakaumaa erityisellä tavalla. Yleisimmät momentit sisältyvät origomomentteihin, keskusmomentteihin ja tekijämomentteihin. Kuhunkin ryhmään sisältyy numeroituvasti ääretön määrä erilaisia momentteja.[1][2]

Momentti eli origomomenttiMuokkaa

Tavallinen momentti eli origomomentti määritellään diskreetin satunnaismuuttujan   tapauksessa

  [2]

Kun satunnaismuuttujalla on perusjoukossaan vain äärellinen määrä arvoja, voidaan momentti aina laskea. Mikäli perusjoukossa on numeroituvasti ääretön määrä arvoja, saadaan summa laskettua, mikäli se suppenee itseisesti.

Jatkuvan satunnaismuuttujan   tapauksessa momentti lasketaan

  [2]

mikäli epäoleellinen integraali on itseisenä olemassa. Origomomentti voidaan merkitä myös   [2]

Kullekin eksponentin   positiiviselle kokonaislukuarvolle voidaan määritellä momentti  . Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa ne määritellään  :t ovat vaihtoehtoisia merkintöjä)[1]

  jota kutsutaan odotusarvoksi.[1]
  jota kutsutaan toiseksi momentiksi.
  jota kutsutaan kolmanneksi momentiksi.
  jota kutsutaan n:nneksi momentiksi.

Vastaavasti voidaan määritellä momentit diskreetin satunnaismuuttujan tapauksessa. Eräs tapa tuottaa jakauman kaikki momentit on käyttää momenttifunktiota. Se määritellään diskreetissä tapauksessa[3]

 

ja jatkuvassa tapauksessa

 
 

missä      ..., ,.. ovat origomomentteja. Siitä voidaan laskea n:n momentin arvo derivoimalla momenttifunktio n kertaa ja sijoittamalla siihen  [4]

KeskusmomenttiMuokkaa

Keskusmomentilla, keskimomentilla eli keskeisellä momentilla tarkoitetaan satunnaismuuttujan ja odotusarvon   erotuksen momenttia. Se määritellään diskreetin satunnaismuuttujan   tapauksessa[5]

 

Jatkuvan satunnaismuuttujan   tapauksessa keskusmomentti lasketaan

  [5]

mikäli summa suppenee itseisesti tai epäoleellinen integraali on itseisenä olemassa. Keskusmomentti voidaan merkitä myös   [5]

Kullekin eksponentin   positiiviselle kokonaislukuarvolle voidaan määritellä keskusmomentti  . Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa ne määritellään  

 
  jota kutsutaan varianssiksi.[1][2]
  jota kutsutaan kolmanneksi keskusmomentiksi eli vinoudeksi.
  jota kutsutaan neljänneksi keskusmomentiksi eli huipukkuudeksi.
  jota kutsutaan n:nneksi keskusmomentiksi.

TekijämomenttiMuokkaa

Tekijämomentit, joita saadaan esimerkiksi todennäköisyyksiä generoivista funktioista, määritellään seuraavasti

  [6][7]

ja tarkemmin diskreetissä tapauksessa

  [7]

ja jatkuvassa tapauksessa

 

Kolme ensimmäistä tekijämomenttia ovat

  (odotusarvo)[6]
  (varianssi)[6]
 

LähteetMuokkaa

  1. a b c d Liski, Erkki: Luku 5 Jatkuvat jakaumat, s.151−160, luennosta Matemaattinen tilastotiede, Tampereen yliopisto, 2005
  2. a b c d e Weisstein, Eric W.: Moment (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. Gamarnik, David & Tsitsiklis, John: Moment generating functions, luentomoniste "6.436J Fundamentals of Probability", Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, s. 1−8, 2008
  4. Weisstein, Eric W.: Moment-Generating Function (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. a b c Weisstein, Eric W.: Central Moment (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. a b c Liski, Erkki: Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus, s.77−80, luennosta Matemaattinen tilastotiede, Tampereen yliopisto, 2005
  7. a b Weisstein, Eric W.: Factorial Moment (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)