Binomijakauma

Binomijakauma on dikotomisen toistokokeen lopputulosten lukumäärän jakauma.

Binomijakauma

Todennäköisyysfunktio
Kertymäfunktio
Merkintä	B(n, p)
Parametrit	n ∈ N0 — kokeiden lukumäärä p ∈ [0,1] — kunkin kokeen onnistumistodennäköisyys
Määrittelyjoukko	k ∈ { 0, …, n } — onnistumisten lukumäärä
Pistetodennäköisyysfunktio	$\textstyle {n \choose k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}$
Kertymäfunktio	$\textstyle I_{1-p}(n-k,1+k)$
Odotusarvo	np
Mediaani	⌊np⌋ tai ⌈np⌉
Moodi	⌊(n + 1)p⌋ tai ⌊(n + 1)p⌋ − 1
Varianssi	np(1 − p)
Vinous	${\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}$
Huipukkuus	${\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}$
Entropia	${\frac {1}{2}}\log _{2}{\big (}2\pi e\,np(1-p){\big )}+O\left({\frac {1}{n}}\right)$
Momentit generoiva funktio	$(1-p+pe^{t})^{n}\!$
Karakteristinen funktio	$(1-p+pe^{it})^{n}\!$
Todennäköisyydet generoiva funktio	$G(z)=\left[(1-p)+pz\right]^{n}.$
Fisherin informaatiomatriisi	$g(p,n)={\frac {n}{p(1-p)}}$ (vain jatkuvan parametrin tapauksessa)

Binomijakauma on diskreetti. Jos satunnaismuuttuja $X$ on binomijakautunut, merkitään

$X\sim \operatorname {Bin} (n,p).$

Jakauman parametri $0\leq p\leq 1$ on toisen lopputuloksen todennäköisyys, ja parametri $n\in \mathbb {N}$ on toistojen lukumäärä. Jakauman arvojoukko on $\{0,1,...,n\}$. Pistetodennäköisyysfunktio on

$\operatorname {P} (X=i)={n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}.$

Odotusarvo ja varianssi ovat

$\operatorname {E} (X)=np$ ja $\operatorname {Var} (X)=np(1-p).$

Jos $X_{1}\sim \operatorname {Bin} (n_{1},p)$ ja $X_{2}\sim \operatorname {Bin} (n_{2},p)$ sekä $X_{1}$ ja $X_{2}$ ovat riippumattomia, niin $X_{1}+X_{2}\sim \operatorname {Bin} (n_{1}+n_{2},p)$.

Binomijakauman yhteys Bernoullin jakaumaan on

$\operatorname {Bin} (1,p)=\operatorname {B} (p).$

Katso myös

• Binomikerroin
• Binomitodennäköisyys
• Poissonin jakauma

Aiheesta muualla

• Mathworld: Binomial Distribution

Todennäköisyysjakaumat

Diskreettejä jakaumia	Bernoullin jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Poissonin jakauma
Jatkuvia jakaumia	Beta-jakauma Cauchy-jakauma Eksponenttijakauma F-jakauma Gamma-jakauma Khii toiseen -jakauma Log-normaalijakauma Normaalijakauma Pareto-jakauma Studentin t-jakauma Tasajakauma Weibull-jakauma
Moniulotteisia jakaumia	Dirichlet-jakauma Moniulotteinen Studentin t-jakauma Multinomijakauma Multinormaalijakauma