Avaa päävalikko

Momenttifunktio [1] eli momentit generoiva funktio [1] eli momenttiemäfunktio [2] on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan jakaumasta määritelty funktio, joka on yleinen menetelmä laskea jakauman tunnuslukuja eli momentteja. Diskreetin jakauman momenttifunktio muodostetaan pistetodennäköisyysfunktion ja jatkuvan jakauman momenttifunktio tiheysfunktion avulla. Jakauma voidaan karakterisoida kätevästi käyttäen pelkästään momenttifunktiota.[1]

Momenttifunktiolla voidaan laskea jakauman momentit yksinkertaisella tavalla, sen avulla ratkeavat tietyt laskennalliset ja kombinatoriset ongelmat, sillä voidaan käsitellä yksinkertaisesti riippumattomien satunnaismuuttujien summia, helpottavat leveiden jakaumien todennäköisyyksien laskemista, yhdistää todennäköisyyslaskennan kompleksilukulaskentaan, helpottaa suurten lukujen lain soveltamista ja Markovin ketjujen analysointia.[3]

MääritelmäMuokkaa

Jos   on diskreetti satunnaismuuttuja,   satunnaismuuttujan perusjoukko ja   sen pistetodennäköisyysfunktio. Silloin reaalimuuttujan   funktio

 

on satunnaismuuttujan   momenttifunktio kunhan odotusarvo

 

on olemassa avoimella välillä   ( ). Luku   määräytyy siten, että momenttifunktio on äärellisenä olemassa kaikilla välin arvoilla. Momenttifunktio on siten funktion kuvaus

  [1][4][3]

Jatkuvan satunnaismuuttujan momenttifunktio määritellään vastaavalla tavalla

 [5][4]

Momenttifunktion määrittämiseksi määrätyn integraalin eksponenttifunktio voidaan avata Taylorin sarjaksi, jolloin saadaan jatkuvassa tapauksessa lausekkeet

 
 

missä      ... ovat momentteja (katso alla).[4]

EsimerkkejäMuokkaa

Diskreetti satunnaismuuttujaMuokkaa

Satunnaismuuttuja   saa vain kolme arvoa   todennäköisyyksillä   vastaavasti. Silloin  :n jakauman momenttifunktio on

 

kaikille   [3]

Jatkuva satunnaismuuttujaMuokkaa

Jos satunnaismuuttuja   on tasaisesti jakautunut välille [0,1], on sen tiheysfunktio tällä välillä   Silloin momenttifunktio lasketaan

  [6]

OminaisuuksiaMuokkaa

Momenttifunktiolla on joitakin ominaisuuksia, joita voidaan käyttää hyödyksi yhden tai useamman satunnaismuuttujan jakaumissa. Merkitään satunnaismuuttujien   ja   momenttifunktioita   ja  .

  • Mikäli  , niin  
  • Jos   (aina), niin  
  • Jos   muuttujan   origon ympäristössä, on satunnaismuuttujilla   ja   sama jakauma.
  • Jos satunnaismuuttujat   ja   ovat riippumattomat, on niiden summan   momenttifunktio   Monitermiset summat muodostetaan vastaavalla tavalla.[7]

Todennäköisyydet generoiva funktio   liittyy momenttifunktioihin seuraavasti:

  [8]

MomenttejaMuokkaa

Pääartikkeli: Momentti

Satunnaismuuttujien jakaumien tunnuslukujen joukossa on erilaisia momentteja. Yleensä halutaan käyttää tavallisia momentteja   eli origomomentteja sekä ja keskusmomentteja   missä   Satunnaismuuttujalle voidaan muodostaa myös tekijämomentteja, jotka määritellään   [1]

Momenttifunktio liittyy momentteihin siten, että momenttifunktion r. kertaluvun derivaattojen arvot kohdassa nolla antavat satunnaismuuttujan   r. origomomentit:   Origomomentit saadaan seuraavasti (eksponenttifunktion sarjamuodostelman merkinnöillä):[1][4]

  •  , jolloin  
  •  , jolloin  
  •  , jolloin  
  •  , jolloin  

Kaksiulotteinen yhteisjakaumaMuokkaa

Origomomentit generoiva funktioMuokkaa

Diskreetit satunnaismuuttujat   ja   muodostavat yhteisjakauman todennäköisyysfunktiolla   Yhteisjakauman momenttifunktio on myös kaksiarvoinen funktio

  [9]

Jatkuvilla satunnaismuuttujilla momenttifunktio kirjoitetaan

  [9]

Kun   saadaan satunnaismuuttujan   momenttifunktio

  [9]

ja arvolla   saadaan satunnaismuuttujan   momenttifunktio   Momenttifunktiosta muodostetaan tarvittavat origomomentit derivoimalla se vaihtelevilla tavoilla. Seuraavat osittaisderivaatat ovat hyödyllisiä:[9]

 
 
 
 

Keskusmomentit generoivat funktiotMuokkaa

Yhden satunnaismuuttujan keskusmomentit kirjoitetaan   ja niitä generoiva funktio vastaavasti

 

Näistä toinen derivaatta

 

on varianssi.

Kahden satunnaismuuttujan keskusmomentit kirjoitetaan   ja niitä generoiva funktio vastaavasti

 

Näistä toinen osittaisderivaatta

 

on kovarianssi.

LähteetMuokkaa

  1. a b c d e f Liski, Erkki: Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus, s. 77−80, luennosta Matemaattinen tilastotiede, Tampereen yliopisto, 2005
  2. Rahiala, Markku: Satunnaismallien teoria, s. 14, Oulun yliopisto, 2002
  3. a b c Gamarnik, David & Tsitsiklis, John: Moment generating functions, luentomoniste "6.436J Fundamentals of Probability", Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, s. 1−3, 2008
  4. a b c d Weisstein, Eric W.: Moment-Generating Function (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Liski, Erkki: Luku 5 Jatkuvat jakaumat, s. 151−160, luennosta Matemaattinen tilastotiede, Tampereen yliopisto, 2005
  6. Probability Cource: 6.1.3. Moment functions
  7. Gamarnik, David & Tsitsiklis, John: Moment generating functions, luentomoniste "6.436J Fundamentals of Probability", Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, s. 4−8, 2008
  8. Liski, Erkki: Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus, s. 94, luennosta Matemaattinen tilastotiede, Tampereen yliopisto, 2005
  9. a b c d Bowerman, S.: Joint, Marginal, And Conditional Distributions, luontomuistiinpanoja kurssista Fundamental Principles of Actuarial Science, Toronton Yliopisto, 2006

Aiheesta muuallaMuokkaa