Todennäköisyydet generoiva funktio on odotusarvo
G
(
t
)
=
E
(
t
X
)
.
{\displaystyle G(t)=E(t^{X}).}
[ 2] Diskreetti satunnaismuuttuja
muokkaa
Diskreetille satunnaismuuttujalle generoiva funktio on potenssisarja
G
(
t
)
=
∑
i
=
0
∞
f
(
x
i
)
t
x
i
,
{\displaystyle G(t)=\sum _{i=0}^{\infty }f(x_{i})t^{x_{i}},}
jonka eri asteisten potenssien kertoimet ovat pistetodennäköisyysfunktion arvoja eri satunnaismuuttujan
X
{\displaystyle X}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
t
{\displaystyle t}
reaaliluku , mutta se voi olla myös kompleksiluku , sillä kaikki tarvittavat matemaattiset ominaisuudet periytyvät myös sille. Laittamalla muuttujan
t
{\displaystyle t}
Potenssisarja suppenee yleisesti reaaliluvuilla vain, jos
−
1
<
t
<
1
{\displaystyle -1<t<1}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
t
=
1
{\displaystyle t=1}
raja-arvo , kun ykköstä lähestytään vasemmalta päin. Jos näin on, niin raja-arvoa voidaan ilmaista miinus-merkillä
lim
t
→
1
−
G
(
t
)
=
G
(
1
−
)
.
{\displaystyle \lim _{t\to 1-}G(t)=G(1-).}
Todennäköisyyslaskennassa alueen voi laajentaa
−
1
≤
t
≤
1
{\displaystyle -1\leq t\leq 1}
G
(
1
−
)
{\displaystyle G(1-)}
G
(
1
)
{\displaystyle G(1)}
Jatkuvalle satunnaismuuttujalle generoiva funktio määritetään
G
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
t
x
f
X
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle G(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }t^{x}f_{X}(x)\,dx.}
[ 3]
Yleisessä tapauksessa, missä
X
=
{
x
0
,
x
1
,
x
2
,
…
}
{\displaystyle X=\{x_{0},x_{1},x_{2},\dots \}}
G
(
0
)
=
∑
i
=
0
∞
f
(
x
i
)
⋅
0
x
i
=
0.
{\displaystyle G(0)=\sum _{i=0}^{\infty }f(x_{i})\cdot 0^{x_{i}}=0.}
[ 4] Erityistapauksessa, jossa
Y
=
{
i
|
i
=
0
,
1
,
2
,
3
…
}
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
…
}
{\displaystyle Y=\{i|i=0,1,2,3\dots \}=\{0,1,2,3,\dots \}}
f
(
x
i
)
=
f
i
=
p
i
=
P
(
X
=
i
)
{\displaystyle f(x_{i})=f_{i}=p_{i}=P(X=i)}
G
(
t
)
=
∑
i
=
0
∞
p
i
⋅
t
y
i
=
p
0
t
0
+
p
1
t
1
+
p
2
t
2
+
…
,
{\displaystyle G(t)=\sum _{i=0}^{\infty }p_{i}\cdot t^{y_{i}}=p_{0}t^{0}+p_{1}t^{1}+p_{2}t^{2}+\dots ,}
[ 2] josta saadaan
G
(
0
)
=
∑
i
=
0
∞
p
i
⋅
0
y
i
=
p
0
,
{\displaystyle G(0)=\sum _{i=0}^{\infty }p_{i}\cdot 0^{y_{i}}=p_{0},}
[ 4] kunhan
lim
t
→
0
p
0
⋅
t
y
0
=
lim
t
→
0
p
0
⋅
t
0
=
p
0
.
{\displaystyle \lim _{t\to 0}p_{0}\cdot t^{y_{0}}=\lim _{t\to 0}p_{0}\cdot t^{0}=p_{0}.}
[ 4]
Yleisessä tapauksessa, missä
X
=
{
x
0
,
x
1
,
x
2
,
…
}
{\displaystyle X=\{x_{0},x_{1},x_{2},\dots \}}
G
(
1
−
)
=
lim
t
→
1
−
G
(
t
)
=
lim
t
→
1
−
(
∑
i
=
0
∞
f
(
x
i
)
⋅
t
x
i
)
=
∑
i
=
0
∞
f
(
x
i
)
⋅
1
x
i
=
∑
i
=
0
∞
f
(
x
i
)
=
1
,
{\displaystyle G(1-)=\lim _{t\to 1-}G(t)=\lim _{t\to 1-}\left(\sum _{i=0}^{\infty }f(x_{i})\cdot t^{x_{i}}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }f(x_{i})\cdot 1^{x_{i}}=\sum _{i=0}^{\infty }f(x_{i})=1,}
sillä satunnaismuuttujan kaikkien arvojen todennäköisyyksien summa on aina yksi.[ 4]
Riippumattomat satunnaismuuttujat
muokkaa
Jos muodostetaan uusi satunnaismuuttuja
Y
{\displaystyle Y}
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
Y
=
X
1
+
X
2
{\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}}
G
Y
(
t
)
=
G
X
1
(
t
)
G
X
2
(
t
)
.
{\displaystyle G_{Y}(t)=G_{X_{1}}(t)G_{X_{2}}(t).}
[ 2] Satunnaismuuttujan momentit generoiva funktio on odotusarvo
M
(
t
)
=
E
[
e
t
X
]
.
{\displaystyle M(t)=E[e^{tX}].}
[ 2] Momenttifunktio voidaan kirjoittaa todennäköisyydet generoivan funktion avulla
M
(
t
)
=
G
(
e
t
)
.
{\displaystyle M(t)=G(e^{t}).}
[ 2]
Sarjan derivointi suoritetaan jokaiselle sarjan termille yksittäin seuraavasti: [ 4]
G
(
t
)
=
E
(
t
X
)
=
∑
i
=
1
∞
f
(
x
i
)
t
x
i
{\displaystyle G(t)=E(t^{X})=\sum _{i=1}^{\infty }f(x_{i})t^{x_{i}}}
G
′
(
t
)
=
D
(
∑
i
=
1
∞
f
(
x
i
)
t
x
i
)
=
x
1
f
(
x
1
)
t
x
1
−
1
+
x
2
f
(
x
2
)
t
x
2
−
1
+
x
3
f
(
x
3
)
t
x
3
−
1
+
…
{\displaystyle G'(t)=D\left(\sum _{i=1}^{\infty }f(x_{i})t^{x_{i}}\right)=x_{1}f(x_{1})t^{x_{1}-1}+x_{2}f(x_{2})t^{x_{2}-1}+x_{3}f(x_{3})t^{x_{3}-1}+\dots }
G
″
(
t
)
=
D
2
(
∑
i
=
1
∞
f
(
x
i
)
t
x
i
)
=
x
1
(
x
1
−
1
)
f
(
x
1
)
t
x
1
−
2
+
x
2
(
x
2
−
1
)
f
(
x
2
)
t
x
2
−
2
+
x
3
(
x
3
−
1
)
f
(
x
3
)
t
x
3
−
2
+
…
{\displaystyle G''(t)=D^{2}\left(\sum _{i=1}^{\infty }f(x_{i})t^{x_{i}}\right)=x_{1}(x_{1}-1)f(x_{1})t^{x_{1}-2}+x_{2}(x_{2}-1)f(x_{2})t^{x_{2}-2}+x_{3}(x_{3}-1)f(x_{3})t^{x_{3}-2}+\dots }
Ensimmäisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa
G
′
(
t
)
=
∑
i
=
1
∞
x
i
f
(
x
i
)
t
x
i
−
1
{\displaystyle G'(t)=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}f(x_{i})t^{x_{i}-1}}
ja sen arvo ykkösessä antaa
G
′
(
1
−
)
=
lim
t
→
1
−
G
(
t
)
=
∑
i
=
1
∞
x
i
f
(
x
i
)
1
x
i
−
1
=
∑
i
=
1
∞
x
i
f
(
x
i
)
=
E
[
X
]
{\displaystyle G'(1-)=\lim _{t\to 1-}G(t)=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}f(x_{i})1^{x_{i}-1}=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}f(x_{i})=E[X]}
[ 2] eli tuloksena on satunnaismuuttujan odotusarvo . Toisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa
G
″
(
t
)
=
G
(
2
)
(
t
)
=
∑
i
=
1
∞
x
i
(
x
i
−
1
)
f
(
x
i
)
t
x
i
−
2
{\displaystyle G''(t)=G^{(2)}(t)=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}(x_{i}-1)f(x_{i})t^{x_{i}-2}}
ja sen arvo ykkösessä on
G
″
(
1
−
)
=
lim
t
→
1
−
G
(
2
)
(
t
)
=
lim
t
→
1
−
(
∑
i
=
1
∞
x
i
(
x
i
−
1
)
f
(
x
i
)
t
x
i
−
2
)
{\displaystyle G''(1-)=\lim _{t\to 1-}G^{(2)}(t)=\lim _{t\to 1-}\left(\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}(x_{i}-1)f(x_{i})t^{x_{i}-2}\right)}
=
∑
i
=
1
∞
x
i
(
x
i
−
1
)
f
(
x
i
)
1
x
i
−
2
=
∑
i
=
1
∞
x
i
(
x
i
−
1
)
f
(
x
i
)
=
E
[
X
(
X
−
1
)
]
{\displaystyle =\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}(x_{i}-1)f(x_{i})1^{x_{i}-2}=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}(x_{i}-1)f(x_{i})=E[X(X-1)]}
eli satunnaismuuttujan toinen tekijämomentti . Odotusarvo voidaan tulkita siten ensimmäiseksi tekijämomentiksi.
Yleisesti, kun on otettu r:s derivaatta, saadaan
G
(
r
)
(
1
)
=
E
[
X
(
r
)
]
=
E
[
X
(
X
−
1
)
(
X
−
2
)
…
(
X
−
r
+
1
)
]
{\displaystyle G^{(r)}(1)=E[X^{(r)}]=E[X(X-1)(X-2)\dots (X-r+1)]}
[ 4] [ 2] eli r:s tekijämomentti.
Erityistapauksessa, jossa
Y
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
…
}
{\displaystyle Y=\{0,1,2,3,\dots \}}
f
(
x
i
)
=
p
i
=
P
(
Y
=
i
)
{\displaystyle f(x_{i})=p_{i}=P(Y=i)}
p
i
{\displaystyle p_{i}}
G
(
t
)
=
∑
i
=
0
∞
p
i
⋅
t
y
i
=
p
0
t
0
+
p
1
t
1
+
p
2
t
2
+
…
{\displaystyle G(t)=\sum _{i=0}^{\infty }p_{i}\cdot t^{y_{i}}=p_{0}t^{0}+p_{1}t^{1}+p_{2}t^{2}+\dots }
[ 2] ja sen ensimmäinen derivaatta on
G
′
(
t
)
=
∑
i
=
1
∞
y
i
p
i
t
y
i
−
1
=
0
⋅
p
0
t
−
1
+
1
⋅
p
1
t
0
+
2
p
2
t
1
+
3
p
3
t
2
⋯
=
p
1
t
0
+
2
p
2
t
1
+
3
p
3
t
2
+
…
.
{\displaystyle G'(t)=\sum _{i=1}^{\infty }y_{i}p_{i}t^{y_{i}-1}=0\cdot p_{0}t^{-1}+1\cdot p_{1}t^{0}+2p_{2}t^{1}+3p_{3}t^{2}\dots =p_{1}t^{0}+2p_{2}t^{1}+3p_{3}t^{2}+\dots .}
Sijoittamalla siihen
t
=
0
{\displaystyle t=0}
G
′
(
0
)
=
p
1
0
0
+
2
p
2
0
1
+
3
p
3
0
2
+
⋯
=
p
1
,
{\displaystyle G'(0)=p_{1}0^{0}+2p_{2}0^{1}+3p_{3}0^{2}+\dots =p_{1},}
kun tilanteessa "
0
0
{\displaystyle 0^{0}}
lim
t
→
0
t
0
=
1.
{\displaystyle \lim _{t\to 0}t^{0}=1.}
G
″
(
t
)
=
∑
i
=
1
∞
y
i
(
y
i
−
1
)
p
i
t
y
i
−
2
=
1
⋅
0
⋅
p
1
t
−
1
+
2
⋅
1
p
2
t
0
+
3
⋅
2
p
3
t
1
+
4
⋅
3
p
4
t
3
+
⋯
=
2
p
2
t
0
+
6
p
3
t
1
+
12
p
4
t
2
+
…
{\displaystyle G''(t)=\sum _{i=1}^{\infty }y_{i}({y_{i}-1})p_{i}t^{y_{i}-2}=1\cdot 0\cdot p_{1}t^{-1}+2\cdot 1p_{2}t^{0}+3\cdot 2p_{3}t^{1}+4\cdot 3p_{4}t^{3}+\dots =2p_{2}t^{0}+6p_{3}t^{1}+12p_{4}t^{2}+\dots }
ja sijoittamalla taas
t
=
0
{\displaystyle t=0}
G
″
(
0
)
=
2
p
2
0
0
+
6
p
3
0
1
+
12
p
4
0
2
+
⋯
=
2
p
2
.
{\displaystyle G''(0)=2p_{2}0^{0}+6p_{3}0^{1}+12p_{4}0^{2}+\dots =2p_{2}.}
Pienellä päättelyllä saadaan todennäköisyydet laskettua
p
k
=
G
(
k
)
(
0
)
k
!
.
{\displaystyle p_{k}={\frac {G^{(k)}(0)}{k!}}.}
[ 2] Tästä lausekkeesta voidaan ymmärtää funktion nimi: todennäköisyydet generoiva funktio .
Noppapeleissä käytetään arpakuutiota, jolla arvotaan kuusi lukua 1−6 ja jonka eri lukujen todennäköisyydet ovat yhtä todennäköisiä (eli noppa antaa luvun
i
{\displaystyle i}
P
(
X
=
i
)
=
1
6
{\displaystyle P(X=i)={\tfrac {1}{6}}}
G
(
t
)
=
∑
i
=
1
∞
f
(
x
i
)
t
x
i
=
P
(
X
=
1
)
t
1
+
P
(
X
=
2
)
t
2
+
P
(
X
=
3
)
t
3
+
P
(
X
=
4
)
t
4
+
…
,
{\displaystyle G(t)=\sum _{i=1}^{\infty }f(x_{i})t^{x_{i}}=P(X=1)t^{1}+P(X=2)t^{2}+P(X=3)t^{3}+P(X=4)t^{4}+\dots ,}
jolla on ominaisuus
G
(
1
)
=
1
6
⋅
1
1
+
1
6
⋅
1
2
+
1
6
⋅
1
3
+
1
6
⋅
1
4
+
⋯
=
1
6
+
1
6
+
1
6
+
1
6
+
1
6
+
1
6
+
0
+
0
+
⋯
=
1
{\displaystyle G(1)={\tfrac {1}{6}}\cdot 1^{1}+{\tfrac {1}{6}}\cdot 1^{2}+{\tfrac {1}{6}}\cdot 1^{3}+{\tfrac {1}{6}}\cdot 1^{4}+\dots ={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}+0+0+\dots =1}
eli todennäköisyyksien summa on yksi.[ 5]
Koska todennäköisyydet ovat samat ja muualla nolla, on sarja itse asiassa summa:
G
(
t
)
=
1
6
t
1
+
1
6
t
2
+
1
6
t
3
+
1
6
t
4
+
1
6
t
5
+
1
6
t
6
{\displaystyle G(t)={\tfrac {1}{6}}t^{1}+{\tfrac {1}{6}}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}t^{3}+{\tfrac {1}{6}}t^{4}+{\tfrac {1}{6}}t^{5}+{\tfrac {1}{6}}t^{6}}
=
1
6
(
t
1
+
t
2
+
t
3
+
t
4
+
t
5
+
t
6
)
.
{\displaystyle ={\tfrac {1}{6}}\left(t^{1}+t^{2}+t^{3}+t^{4}+t^{5}+t^{6}\right).}
muokkaa
Derivaatta kohdassa yksi on
G
′
(
t
)
=
1
⋅
P
(
X
=
1
)
+
2
P
(
X
=
2
)
t
1
+
3
P
(
X
=
3
)
t
2
+
4
P
(
X
=
4
)
t
3
+
…
{\displaystyle G'(t)=1\cdot P(X=1)+2P(X=2)t^{1}+3P(X=3)t^{2}+4P(X=4)t^{3}+\dots }
[ 5] ja
G
′
(
1
)
=
1
⋅
P
(
X
=
1
)
+
2
P
(
X
=
2
)
+
3
P
(
X
=
3
)
+
4
P
(
X
=
4
)
+
…
{\displaystyle G'(1)=1\cdot P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)+\dots }
=
1
⋅
1
6
+
2
⋅
1
6
+
3
⋅
1
6
+
4
⋅
1
6
+
5
⋅
1
6
+
6
⋅
1
6
+
0
+
0
+
⋯
=
7
2
=
E
[
X
]
.
{\displaystyle =1\cdot {\tfrac {1}{6}}+2\cdot {\tfrac {1}{6}}+3\cdot {\tfrac {1}{6}}+4\cdot {\tfrac {1}{6}}+5\cdot {\tfrac {1}{6}}+6\cdot {\tfrac {1}{6}}+0+0+\dots ={\tfrac {7}{2}}=E[X].}
[ 5] Toinen derivaatta kohdassa yksi on
G
″
(
t
)
=
2
⋅
1
P
(
X
=
2
)
t
0
+
3
⋅
2
P
(
X
=
3
)
t
1
+
4
⋅
3
P
(
X
=
4
)
t
2
+
…
{\displaystyle G''(t)=2\cdot 1P(X=2)t^{0}+3\cdot 2P(X=3)t^{1}+4\cdot 3P(X=4)t^{2}+\dots }
[ 5] ja
G
″
(
1
)
=
2
⋅
1
⋅
1
6
+
3
⋅
2
⋅
1
6
+
4
⋅
3
⋅
1
6
+
⋯
=
35
3
=
E
[
X
(
X
−
1
)
]
.
{\displaystyle G''(1)=2\cdot 1\cdot {\tfrac {1}{6}}+3\cdot 2\cdot {\tfrac {1}{6}}+4\cdot 3\cdot {\tfrac {1}{6}}+\dots ={\tfrac {35}{3}}=E[X(X-1)].}
[ 5] Huomaa, miten saadaan varianssi näistä kahdesta tuloksesta
G
″
(
1
)
+
G
′
(
1
)
−
(
G
′
(
1
)
)
2
=
35
3
+
7
2
−
(
7
2
)
2
=
35
12
=
V
a
r
(
X
)
.
{\displaystyle G''(1)+G'(1)-(G'(1))^{2}={\tfrac {35}{3}}+{\tfrac {7}{2}}-\left({\tfrac {7}{2}}\right)^{2}={\tfrac {35}{12}}=Var(X).}
[ 4] [ 5]
↑ Liski, Erkki: Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus , s.91−92, luennosta Matemaattinen tilastotiede , Tampereen yliopisto, 2005
↑ a b c d e f g h i Matematika Intézet: Ch4: Generating functions , Budapesti, Unkari
↑ Esquível, Manuel L.: Probability Generating Functions for Discrete Real Valued Random Variables , 2011, Universidade Nova de Lisboa, Portugali
↑ a b c d e f g Gribakin, Gleb: Ch 3.: Probability Generating Functions , s.39−41, kurssin Probability and Distribution Theory luentomoniste, 2002, Queen’s University, Belfast, Irlanti
↑ a b c d e f King, Frank:Ch 6: Probability Generating Functions , kurssin Probability luentomoniste, 2007-08, University of Cambridge, Englanti
![{\displaystyle M(t)=E[e^{tX}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8596001d639410a9937719de7f0d15e61a7a67b)
![{\displaystyle G'(1-)=\lim _{t\to 1-}G(t)=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}f(x_{i})1^{x_{i}-1}=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}f(x_{i})=E[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33387436541592caf8edd108ee7cfd399f27459)
![{\displaystyle =\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}(x_{i}-1)f(x_{i})1^{x_{i}-2}=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}(x_{i}-1)f(x_{i})=E[X(X-1)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1cbceeeac791e782e2307aaa7f77a24951a29b)
![{\displaystyle G^{(r)}(1)=E[X^{(r)}]=E[X(X-1)(X-2)\dots (X-r+1)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1e64bdf64255551ae71cc83aceb2963d24297f7)
![{\displaystyle =1\cdot {\tfrac {1}{6}}+2\cdot {\tfrac {1}{6}}+3\cdot {\tfrac {1}{6}}+4\cdot {\tfrac {1}{6}}+5\cdot {\tfrac {1}{6}}+6\cdot {\tfrac {1}{6}}+0+0+\dots ={\tfrac {7}{2}}=E[X].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ecb9de730d61a97dd213e303134fe5aa61cf9e)
![{\displaystyle G''(1)=2\cdot 1\cdot {\tfrac {1}{6}}+3\cdot 2\cdot {\tfrac {1}{6}}+4\cdot 3\cdot {\tfrac {1}{6}}+\dots ={\tfrac {35}{3}}=E[X(X-1)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2ff1569a50faf6d7e26db7057f3d49ff2873e4)
