Avaa päävalikko

Todennäköisyydet generoiva funktio (lyhennetään joskus tgf) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumasta määritelty funktio, jonka avulla voidaan laskea jakauman todennäköisyyksiä ja tekijämomentteja.[1]

Todennäköisyydet generoiva funktio voidaan määritellä sekä diskreeteille- että jatkuville satunnaismuuttujille. Se on kuitenkin käytännöllisempi diskreeteille satunnaismuuttujille, jonka tuloksia esitellään tässä.

MääritelmäMuokkaa

Todennäköisyydet generoiva funktio on odotusarvo

  [2]

Diskreetti satunnaismuuttujaMuokkaa

Diskreetille satunnaismuuttujalle generoiva funktio on potenssisarja

 

jonka eri asteisten potenssien kertoimet ovat pistetodennäköisyysfunktion arvoja eri satunnaismuuttujan   arvoille  . Muuttuja   on usein reaaliluku, mutta se voi olla myös kompleksiluku, sillä kaikki tarvittavat matemaattiset ominaisuudet periytyvät myös sille. Laittamalla muuttujan   arvoksi nolla, voidaan funktion derivaatoista poimia esille todennäköisyydet ja arvolla yksi, laskea niistä erilaisia summia.

Potenssisarja suppenee yleisesti reaaliluvuilla vain, jos  . Siten arvo   on sallittu arvo. Sen sijaan arvo   ei välttämättä käy, sillä sarja ei silloin suppene yleisessä tapauksessa. Potenssisarjalla saattaa kuitenkin olla olemassa sarjan raja-arvo, kun ykköstä lähestytään vasemmalta päin. Jos näin on, niin raja-arvoa voidaan ilmaista miinus-merkillä

 

Todennäköisyyslaskennassa alueen voi laajentaa  , sillä summassa olevien todennäköisyyksien summa on aina yksi. Monissa teksteissä   merkitään siksi  . Merkintää sovelletaan tässä myös derivaatoille.

Jatkuva satunnaismuuttujaMuokkaa

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle generoiva funktio määritetään

  [3]

OminaisuuksiaMuokkaa

Funktion arvo: G(0)Muokkaa

Yleisessä tapauksessa, missä  , saadaan

  [4]

Erityistapauksessa, jossa   ja niiden todennäköisyydet vastaavasti  , tulee generoivasta funktiosta

  [2]

josta saadaan

  [4]

kunhan   [4]

Funktion arvo: G(1-)Muokkaa

Yleisessä tapauksessa, missä  , saadaan

 

sillä satunnaismuuttujan kaikkien arvojen todennäköisyyksien summa on aina yksi.[4]

Riippumattomat satunnaismuuttujatMuokkaa

Jos muodostetaan uusi satunnaismuuttuja   kahdesta riippumattomasta satunnaismuuttujasta   ja   merkitsemällä  , voidaan uusi generoiva funktio muodostaa vanhojen avulla

  [2]

Momentit generoiva funktioMuokkaa

Satunnaismuuttujan momentit generoiva funktio on odotusarvo

  [2]

Momenttifunktio voidaan kirjoittaa todennäköisyydet generoivan funktion avulla

  [2]

TekijämomentitMuokkaa

Sarjan derivointi suoritetaan jokaiselle sarjan termille yksittäin seuraavasti: [4]

 
 
 

Ensimmäisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa

 

ja sen arvo ykkösessä antaa

  [2]

eli tuloksena on satunnaismuuttujan odotusarvo. Toisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa

 

ja sen arvo ykkösessä on

 
 

eli satunnaismuuttujan toinen tekijämomentti. Odotusarvo voidaan tulkita siten ensimmäiseksi tekijämomentiksi. Yleisesti, kun on otettu r:s derivaatta, saadaan

  [4][2]

eli r:s tekijämomentti.

TodennäköisyysarvotMuokkaa

Erityistapauksessa, jossa   ja niiden todennäköisyydet vastaavasti  , saadaan derivaatoista määritetty pistetodennäköisyydet  . Generoiva funktio on nyt

  [2]

ja sen ensimmäinen derivaatta on

 

Sijoittamalla siihen   saadaan

 

kun tilanteessa " " huomataan   Toinen derivaatta antaa

 

ja sijoittamalla taas   saadaan

 

Pienellä päättelyllä saadaan todennäköisyydet laskettua

  [2]

Tästä lausekkeesta voidaan ymmärtää funktion nimi: todennäköisyydet generoiva funktio.

Esimerkki: noppaMuokkaa

Noppapeleissä käytetään arpakuutiota, jolla arvotaan kuusi lukua 1−6 ja jonka eri lukujen todennäköisyydet ovat yhtä todennäköisiä (eli noppa antaa luvun   todennäköisyydellä  . Muodostetaan todennäköisyydet generoiva funktio

 

jolla on ominaisuus

 

eli todennäköisyyksien summa on yksi.[5]

Koska todennäköisyydet ovat samat ja muualla nolla, on sarja itse asiassa summa:

 
 

Tekijämomentit ja varianssiMuokkaa

Derivaatta kohdassa yksi on

  [5]

ja

 
  [5] (odotusarvo)

Toinen derivaatta kohdassa yksi on

  [5]

ja

  [5] (ensimmäinen tekijämomentti)

Huomaa, miten saadaan varianssi näistä kahdesta tuloksesta

  [4][5]

LähteetMuokkaa

  1. Liski, Erkki: Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus, s.91−92, luennosta Matemaattinen tilastotiede, Tampereen yliopisto, 2005
  2. a b c d e f g h i Matematika Intézet: Ch4: Generating functions, Budapesti, Unkari
  3. Esquível, Manuel L.: Probability Generating Functions for Discrete Real Valued Random Variables, 2011, Universidade Nova de Lisboa, Portugali
  4. a b c d e f g Gribakin, Gleb: Ch 3.: Probability Generating Functions, s.39−41, kurssin Probability and Distribution Theory luentomoniste, 2002, Queen’s University, Belfast, Irlanti
  5. a b c d e f King, Frank:Ch 6: Probability Generating Functions, kurssin Probability luentomoniste, 2007-08, University of Cambridge, Englanti

Aiheesta muuallaMuokkaa