Avaa päävalikko

Beta-jakauma[1] eli jakauma[2] on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jota käytetään bayesilaisessa todennäköisyyslaskennassa. Koska Beta-jakaumaa voi parametrisoida monella eri tavalla, sitä voidaan kutsua jakaumaperheeksi. Sen avulla voidaan esittää lähes kaikki äärelliselle välille konsentroituneet jakaumat.[1][2]

Beta-jakauma
Todennäköisyysfunktio
Beta-jakauman todennäköisyysfunktio
Kertymäfunktio
Beta-jakauman kertymäfunktio
Merkintä
Parametrit
Määrittelyjoukko
Pistetodennäköisyysfunktio
Kertymäfunktio
Odotusarvo
Moodi
Varianssi
Vinous
Huipukkuus
Entropia
Momentit generoiva funktio
Karakteristinen funktio (katso hypergeometrinen funktio)
Fisherin informaatiomatriisi

Jos satunnaismuuttuja on Beta-jakautunut parametreillä ja , merkitään se yleensä

[1]

TodennäköisyysjakaumaMuokkaa

Satunnaismuuttujalla  , joka on Beta-jakautunut ja jolla perusjoukko on  [0,1], on kaksi positiivista parametria   ja  . Niiden avulla Beta-jakauman tiheysfunktio määritellään

  [1]

missä niin sanottu beta-funktio on

  [1]

jossa   taas on gammafunktio. Beta-funktion tarkoituksena on "normalisoida" beta-jakauma niin, että sen tiheysfunktion määrätty integraali koko reaalialueen yli on tasan yksi.[3]

Toisinaan joskus parametrien arvoista vähennetään yksi (  ja  ), jotta tiheysfunktion ja momenttifunktion kaavat yksinkertaistuisivat hieman.[4]

Beta-jakauman tiheysfunktiolla on seuraavanlaisia ominaisuuksia:[1]

  •   kaikilla  
  • Jos   ja  , niin   on aidosti kasvava ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä  
  • Jos   ja  , niin   on aidosti vähenevä ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä  
  • Jos   ja  , niin   on yksihuippuinen ja sen maksimikohta on välin sisäpisteessä  
  • Jos   ja  , niin   on U:n muotoinen ja sillä on lokaalit maksimikohdat on välin päätepisteissä   ja  
  •   on symmetrinen, jos  

Beta-jakauman kertymäfunktion lauseketta ei ole mahdollista kirjoittaa eksplisiittiseen muotoon, koska sen tiheysfunktion integraalifunktiota ei voi kirjoittaa lausekkeeksi alkeisfunktioiden avulla. Ne onkin tapana esittää vain numeerisessa muodossa aivan kuten toimitaan normaalijakaumassakin.[1]

Tunnusluvut ja momentitMuokkaa

MomenttifunktioMuokkaa

Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä

 

Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Origomomenttien yleinen muoto on

  [4]

ja koska gammafunktiolla on  , siitä saadaan ensimmäiset momentit

 

ja

 

Keskusmomenttien yleinen muoto on

 

missä   on hypergeometrinen funktio.[4]

Ensimmäinen origomomentti voidaan laskea myös suoraan

 
 
  [1]

TunnuslukujaMuokkaa

Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista

  [4]

Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti

  [3][4]

Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla

  [3][5][4]

Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.

Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla

  [3][6][4]

Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.

Jakauman moodi sijaitsee välin [0,1] sisäpisteessä, kun   ja  

 

Jos   tai   voi moodi sijaita välin päätepisteessä. Kun   on jakauma tasajakauma ja kaikki pisteet ovat moodi.[3]

EsimerkkejäMuokkaa

Tarkastellaan toistokoetta, jonka yksittäisen kolikonheiton arvoksi voi tulla vain "kruuna" tai "klaava" todennäköisyyksillä   ja  . Heittojen kokonaismäärän ollessa  , noudattaa saatujen kruunujen yhteismäärät   binomijakaumaa  . Jos halutaan selvittää "kruunan" todennäköisyyttä  , kun saadaan   "kruunaa", on se Beta-jakautunut  .[7]

Edellinen ongelma on perinteisesti ratkaistu käyttäen normaalijakaumaa, mutta Beta-jakauma antaa silloin oikean tuloksen, kun se määritellään

 

Normaalijakauma antaa harhaisen tuloksen, mikäli toistojen lukumäärä   on pieni ja suhde   on lähellä arvoa 0 tai 1.[7]

Beta-jakaumaa tulisi käyttää normaalijakauman sijasta approksimoitaessa binomijakaumaa epäsymmetrisissä tiheysjakauman tilanteissa. Esimerkiksi epäsymmetrisessä ja kahta arvoa antavassa satunnaistapauhtumassa kannattaa käyttää diskreetin binomijakauman approksimoimiseksi jatkuvaa Beetta-jakaumaa. Yleensä binomijakaumaa approksimoidaan normaalijakaumalla, mutta se ei toimi kunnolla, kun toista arvoa esiintyy tuntuvasti enemmän kuin toista.[7]

Beta-jakaumaa voidaan käyttää arvioitaessa tasajakaumien   arvoja. Arvotaan n satunnaismuuttujalle   arvot        . Arvot lajitellaan suuruusjärjestykseen, jolloin arvo merkitään uudella tavalla   kun se on järjestyksessä i:nnes. (eli   <   < ... <  ). Silloin arvo   kun  .[8]

Muut jakaumatMuokkaa

Beta-jakaumasta saadaan tasajakauma, mikäli parametrit ovat molemmat yksi

  [2]

LähteetMuokkaa

  1. a b c d e f g h Mellin, Ilkka: Todennäköisyysjakaumat, s. 407−410, luentomonisteesta Todennäköisyyslaskenta, Aalto-yliopisto, 2006
  2. a b c Rahiala, Markku: Satunnaismallien teoria, s. 21−22, Oulun yliopisto, 2002
  3. a b c d e Johnson, Paul & Beverlin, Matt: Beta Distribution, 2013
  4. a b c d e f g Weisstein, Eric W.: Beta Distribution (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Weisstein, Eric W.: Skewness (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. Weisstein, Eric W.: Kurtosis (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. a b c Stich, Slater: Use the Beta Distribution
  8. Laurent, Stéphane: The Beta distribution also appears as an order statistic...

Aiheesta muuallaMuokkaa