Avaa päävalikko

Funktion ƒ Integraalifunktio on funktio F, jonka derivaatta on ƒ, eli F' = ƒ. Integraalifunktion määrittämistä eli derivoinnin käänteistoimitusta kutsutaan integroinniksi.[1] Integraalifunktiolle käytetään ainakin kahta määritelmää, jotka ovat eräissä tapauksissa keskenään ristiriitaisia.

Sisällysluettelo

Ensimmäinen ehdotus integraalifunktion määritelmäksiMuokkaa

Olkoon   Riemann-integroituva. Funktio   on funktion   eräs integraalifunktio, mikäli on olemassa   siten, että

 

Lisäksi myös funktio   on funktion   integraalifunktio, mikäli   jollain  .

Toinen ehdotus integraalifunktion määritelmäksi (primitiivin määritelmä)Muokkaa

Olkoon  . Mikäli on olemassa derivoituva funktio   siten, että  , niin   on funktion   primitiivi eli antiderivaatta (tai integraalifunktio).

Alempi määritelmä vaatii, että integraalifunktio on derivoituva, ylempi määritelmä taas ei. Primitiiviltä eli antiderivaatalta vaaditaan siis aina derivoituvuusominaisuus, mutta ylemmän määritelmän mukaiselta integraalifunktiolta ei välttämättä. Määritelmät ovat kuitenkin jatkuville funktiolle samat. Alempi määritelmä on käsitteelliseltä kannalta ongelmallinen: kaikilla integroituvilla funktioilla ei sen mukaan ole integraalifunktiota.

Integraalifunktiot eroavat toisistaan vakiollaMuokkaa

Integraalifunktio on summattavaa vakiota lukuun ottamatta yksikäsitteinen. Toisin sanoen, jos   on funktion   jokin integraalifunktio, niin kaikki sen integraalifunktiot ovat muotoa  , missä integroimisvakio   on mielivaltainen. Integraalifunktiolle käytetään merkintää

 ,

missä integroimisvakiota ei ole kiinnitetty. Tätä merkintätapaa kutsutaan funktion   määräämättömäksi integraaliksi. Merkintätapa tarkoittaa joko sitä, että   on  :n antiderivaatta, tai että   on  :n integraalifunktio. Jatkuville funktiolle nämä ovat sama asia.

Integraalifunktioiden määrittäminenMuokkaa

Integraalifunktioiden määrittämistä kutsutaan integroinniksi. Integrointi on derivoinnin käänteistoimenpide, jolla on tärkeä sovellus määrätyn Riemannin integraalin arvon laskemisessa.

Kaikkien alkeisfunktioiden integraalifunktioita ei voi esittää alkeisfunktioiden avulla. Tunnettuja esimerkkejä ovat:

 

Määräämätön integraali on lineaarinen, eli jos funktioilla   ja   on integraalifunktiot ja  , niin

 .

Tässä kaavassa on oletettu, että yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella integroimisvakiot on sopivasti valittu.

Integraalifunktion yhteys määrättyyn integraaliinMuokkaa

Analyysin toisesta peruslauseesta seuraa, että jos funktio   on jatkuva, voidaan kirjoittaa

 

IntegroimiskaavojaMuokkaa

Alla olevissa kaavoissa   ja   ovat  :stä riippuvia Riemann-integroituvia funktioita,   reaaliluku ja   positiivinen reaaliluku. Integroimisvakiota ei ole merkitty näkyviin.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 150–153. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa