Avaa päävalikko

Analyysin peruslauseet ovat lauseita, joiden mukaan kaksi analyysin perusmääritelmää, derivointi ja integrointi, ovat toistensa käänteistoimituksia. Analyysin peruslauseita on väitteen kumpaakin puoliskoa varten yksi, ja niiden nimet ovat analyysin ensimmäinen peruslause ja analyysin toinen peruslause. Siitä, kumpi on kumpi, ei liene täysin yksimielistä käytäntöä.

Analyysin ensimmäinen peruslauseMuokkaa

Jos   on välillä   jatkuva funktio ja   jokin sen integraalifunktio, niin F on derivoituva ja pätee:

 

Lause voidaan kirjoittaa myös muodossa

 , missä  .[1]

Analyysin toinen peruslauseMuokkaa

Olkoot   ja   funktion   primitiivejä. Tällöin löytyy vakio   siten, että

  kaikille x.

Geometrinen tarkasteluMuokkaa

 
Punaisella funktion   alue pisteeseen   asti. Sininen ja punainen alue yhdessä vastaa  :n aluetta   asti.

Merkitään kuvasta funktion   alueen kokoa funktiolla  . Olkoon sinisen alueen leveys  . Kun h on pieni saadaan arvio siniselle alueelle:

 

Toisaalta sininen alue on  . Yhdistämällä saadaan:

 

Siis   on  :n derivaatta, kun väli   lähestyy nollaa.

 

Tästä seuraa, että derivoinnin käänteisoperaatiolla funktiosta   saadaan funktio  .

LähteetMuokkaa

  1. Adams, Robert A.: ”5.5”, Calculus: A Complete Course, s. 297. Pearson: Addison Wesley, 6. painos.

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa