Negatiivinen binomijakauma

Negatiivinen binomijakauma on dikotomisen toistokokeen mielivaltaisen monennetta onnistumista edeltävien yritysten jakauma.

Negatiivinen binomijakauma

Todennäköisyysfunktio Pistetodennäköisyysfunktiot, kun $r=10.$ $p=0.2$ (sininen), $p=0.5$ (vihreä) ja $p=0.8$ (punainen)
Merkintä	$\mathrm {NB} (r,\,p)$
Parametrit	r > 0 odotettu onnistumiskerta p ∈ (0,1) onnistumisen todennäköisyys
Määrittelyjoukko	k ∈ { 0, 1, 2, 3, … } (epäonnistumisten lukumäärä)
Pistetodennäköisyysfunktio	${k+r-1 \choose k}\cdot p^{r}(1-p)^{k}$
Kertymäfunktio	$1-I_{1-p}(k+1,\,r)$
Odotusarvo	${\frac {r(1-p)}{p}}$
Moodi	$\left\lfloor {\frac {(1-p)(r-1)}{p}}\right\rfloor$
Varianssi	${\frac {r(1-p)}{p^{2}}}$
Vinous	${\frac {2-p}{\sqrt {r(1-p)}}}$
Huipukkuus	${\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{r(1-p)}}$
Momentit generoiva funktio	$\left({\frac {pe^{s}}{1-(1-p)e^{s}}}\right)^{r}\!\!\!,s<|\ln(1-p)|$
Karakteristinen funktio	$\left({\frac {pe^{\mathrm {i} s}}{1-(1-p)e^{\mathrm {i} s}}}\right)^{r}$
Todennäköisyydet generoiva funktio	${\biggl (}{\frac {1-p}{1-pz}}{\biggr )}^{\!r}{\text{ für alle }}|z|<{\frac {1}{p}}$

Negatiivinen binomijakauma on diskreetti ja sen arvojoukko on luonnollisten lukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja $X$ on negatiivisbinomijakautunut, merkitään

$X\sim \operatorname {Negbin} (r,p).$

Jakauman parametri $0\leq p\leq 1$ on onnistumisen todennäköisyys, ja parametri $r\in \mathbb {N}$ on odotettu onnistumiskerta. Pistetodennäköisyysfunktio on

$\operatorname {P} (X=i)={r+i-1 \choose i}p^{r}(1-p)^{i}.$

Odotusarvo ja varianssi ovat

$\operatorname {E} (X)={\frac {r(1-p)}{p}}$ ja $\operatorname {Var} (X)={\frac {r(1-p)}{p^{2}}}.$

Jos $X_{1}\sim \operatorname {Negbin} (r_{1},p)$ ja $X_{2}\sim \operatorname {Negbin} (r_{2},p)$ sekä $X_{1}$ ja $X_{2}$ ovat riippumattomia, niin $X_{1}+X_{2}\sim \operatorname {Negbin} (r_{1}+r_{2},p)$.

Negatiivisen binomijakauman yhteys geometriseen jakaumaan on

$\operatorname {Negbin} (1,p)=\operatorname {Geom} (p).$

Jakauman nimi tulee pistetodennäköisyysfunktion samankaltaisuudesta binomijakaumaan, ja siitä että pistetodennäköisyysfunktion voi ilmaista negatiivisen binomikertoimen avulla

$\operatorname {P} (X=i)={-r \choose i}p^{r}(-(1-p))^{i}.$

Katso myös

• Poissonin jakauma

Aiheesta muualla

• Mathworld: Negative Binomial Distribution

Todennäköisyysjakaumat