Bernoullin jakauma

Bernoullin jakauma tai Bernoulli-jakauma on dikotomisen kokeen lopputuloksen jakauma. Se on nimetty sveitsiläisen matemaatikon Jakob Bernoullin mukaan.

Bernoullin jakauma

Todennäköisyysfunktio
Parametrit	$0<p<1,p\in \mathbb {R}$
Määrittelyjoukko	$k=\{0,1\}\,$
Pistetodennäköisyysfunktio	${\begin{cases}q=(1-p)&{\text{kun }}k=0\\p&{\text{kun }}k=1\end{cases}}$
Kertymäfunktio	${\begin{cases}0&{\text{kun }}k<0\\q&{\text{kun }}0\leq k<1\\1&{\text{kun }}k\geq 1\end{cases}}$
Odotusarvo	$p\,$
Mediaani	${\begin{cases}0&{\text{jos }}q>p\\0.5&{\text{jos }}q=p\\1&{\text{jos }}q<p\end{cases}}$
Moodi	${\begin{cases}0&{\text{jos }}q>p\\0,1&{\text{jos }}q=p\\1&{\text{jos }}q<p\end{cases}}$
Varianssi	$p(1-p)\,$
Vinous	${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}$
Huipukkuus	${\frac {1-6pq}{pq}}$
Entropia	$-q\ln(q)-p\ln(p)\,$
Momentit generoiva funktio	$q+pe^{t}\,$
Karakteristinen funktio	$q+pe^{it}\,$
Todennäköisyydet generoiva funktio	$q+pz\,$
Fisherin informaatiomatriisi	${\frac {1}{p(1-p)}}$

Bernoullin jakauma on diskreetti, ja sen arvojoukko on $\{0,1\}$. Jos satunnaismuuttuja $X$ on Bernoulli-jakautunut, merkitään

$X\sim \operatorname {B} (p).$

Jakauman parametri $p$ on tuloksen $1$ todennäköisyys. Pistetodennäköisyysfunktio on

$\operatorname {P} (X=n)=p^{n}(1-p)^{1-n}.$

Odotusarvo ja varianssi ovat

$\operatorname {E} (X)=p$ ja $\operatorname {Var} (X)=p(1-p).$

Katso myös

• Binomijakauma

Aiheesta muualla

• Mathworld: Bernoulli Distribution

Todennäköisyysjakaumat

Diskreettejä jakaumia	Bernoullin jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Poissonin jakauma
Jatkuvia jakaumia	Beta-jakauma Cauchy-jakauma Eksponenttijakauma F-jakauma Gamma-jakauma Khii toiseen -jakauma Log-normaalijakauma Normaalijakauma Pareto-jakauma Studentin t-jakauma Tasajakauma Weibull-jakauma
Moniulotteisia jakaumia	Dirichlet-jakauma Moniulotteinen Studentin t-jakauma Multinomijakauma Multinormaalijakauma