Reaaliarvoinen funktio voi olla konveksi eli alaspäin kupera, konkaavi eli ylöspäin kupera, kumpikin tai ei kumpikaan. Tyyppiesimerkki konveksista funktiosta on toisen asteen polynomi .

Määritelmä

muokkaa
 
Funktio on konveksi, jos janan pisteiden   arvot ovat suurempia tai yhtäsuuria kuin funktion arvot.

Olkoon   reaalilukujen osajoukko ja   funktio.

Funkio   on konveksi, jos

 ,

kaikille   ja  .[1]

Epäyhtälön oikea puoli on pisteiden   ja   kautta kulkevan suoran arvo  :n ja  :n välisessä pisteessä ja vasen puoli on funktion arvo samassa pisteessä. Geometrisesti määritelmä siis tarkoittaa, että minkä tahansa funktion kuvaajan kahden pisteen kautta piirretyn janan kaikki pisteet ovat funktion yläpuolella tai että jana sivuaa kuvaajaa.

Ominaisuuksia

muokkaa

Konveksilla funktiolla on seuraavat ominaisuudet:

  1. Kahden konveksin funktion summa on konveksi.
  2. Konveksi funktio kerrottuna positiivisella vakiolla on konveksi.
  3. Konveksi funktio on jatkuva, muttei välttämättä derivoituva.
  4. Lineaariset funktiot ovat konvekseja sekä konkaaveja.
  5. Kahdesti derivoituva funktio on konveksi välillä   jos ja vain jos   välillä  .

Konkaavi funktio

muokkaa
 
Funktio on konkaavi, jos janan pisteen arvot ovat pienempiä tai yhtäsuuria kuin funktion arvot.

Funktio   on konkaavi, jos

 . [1]

Toisin sanoen funktio   on konkaavi, jos funktio   on konveksi.

Lähteet

muokkaa
  1. a b Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 353 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.