Konveksi funktio

Funktio $f:A\to R$ voi olla konveksi eli alaspäin kupera, konkaavi eli ylöspäin kupera, kumpikin, tai ei kumpikaan, kun $A$ on vektoriavaruus

Konveksi funktio

Funktio on konveksi, jos janan pisteiden
tx₁+(1-t)x₂ arvot ovat suurempia tai yhtäsuuria kuin funktion arvot.

Funktio $f$ on konveksi, jos

$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$,

kun $x,y\in A$ ja $t\in [0,1]$. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa että funktion arvot ovat suurempia kuin sen tangenttisuorien arvot samassa kohdassa (sivuamispistettä lukuun ottamatta).

Ominaisuuksia

Konveksilla funktiolla on seuraavat ominaisuudet:

1. Kahden konveksin funktion summa on konveksi funktio.
2. Konveksi funktio kerrottuna positiivisella vakiolla on konveksi funktio.
3. Konveksi funktio on jatkuva, muttei välttämättä differentioituva.
4. Lineaarinen funktio on konveksi funktio.
5. Kahdesti derivoituva funktio on konveksi välillä $[a,b]$ jos ja vain jos $f''(x)\geq 0$ välillä $[a,b]$.

Konkaavi funktio

Funktio on konkaavi, jos janan pisteen arvot ovat pienempiä tai yhtäsuuria kuin funktion arvot.

Funktio $f$ on konkaavi, jos

$f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y)$,

toisin sanoen jos -f on konveksi.