Konveksi funktio

Funktio $f:A\to R$ voi olla konveksi eli alaspäin kupera, konkaavi eli ylöspäin kupera, kumpikin, tai ei kumpikaan, kun $A$ on vektoriavaruus

Sisällysluettelo

Konveksi funktioMuokkaa

Funktio on konveksi, jos janan pisteiden
tx₁+(1-t)x₂ arvot ovat suurempia tai yhtäsuuria kuin funktion arvot.

Funktio $f$ on konveksi, jos

f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)

,

kun $x,y\in A$ ja $t\in [0,1]$ .^[1] Tämä on yhtäpitävää sen kanssa että funktion arvot ovat suurempia kuin sen tangenttisuorien arvot samassa kohdassa (sivuamispistettä lukuun ottamatta).

OminaisuuksiaMuokkaa

Konveksilla funktiolla on seuraavat ominaisuudet:

Kahden konveksin funktion summa on konveksi funktio.
Konveksi funktio kerrottuna positiivisella vakiolla on konveksi funktio.
Konveksi funktio on jatkuva, muttei välttämättä differentioituva.
Lineaarinen funktio on konveksi funktio.
Kahdesti derivoituva funktio on konveksi välillä $[a,b]$ jos ja vain jos $f''(x)\geq 0$ välillä $[a,b]$ .

Konkaavi funktioMuokkaa

Funktio on konkaavi, jos janan pisteen arvot ovat pienempiä tai yhtäsuuria kuin funktion arvot.

Funktio $f$ on konkaavi, jos

f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y)

, ^[1]

toisin sanoen jos -f on konveksi.

LähteetMuokkaa

↑ ^a ^b Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 353 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

[p1-1] Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 353 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

[1]