Avaa päävalikko
Differentiaalin ja differenssin geometrista tulkinta. Kun siirrytään välin verran (kuvassa PR), kasvaa funktion arvo (kuvassa RQ) eli differenssin verran. Punaisen tangenttisuoran alle jäävä osa (kuvassa RS) on differentiaali ja tangentilta funktion kuvaajalle (kuvassa SQ) on virhe .

Differentiaali on matematiikassa reaaliarvoisen funktion eräs sen muutosnopeutta määrittelevän lausekkeen tai mitan nimitys. Differenssi, joka tarkoittaa funktion todellista muutosta, jaetaan muutoksen lineaariseen osaan, eli differentiaaliin, ja korjaustermiin. Differentiaalin käsite on keskeisessä osassa differentiaalilaskennassa ja esimerkiksi derivaatan määritelmässä.[1][2][3]

JohdantoMuokkaa

HistoriaMuokkaa

Differentiaalit esitteli ensimmäisenä Gottfried Wilhelm Leibniz, jonka heuristinen ja intuitiivinen ajatus oli esittää dy äärimmäisen pienenä suureen y muutoksena. Muutos dy oli pienempi kuin mikään reaaliluku, mutta ei kuitenkaan aivan nolla. Tällaisia lukuja on kutsuttu infinitesimaaleiksi ja niiden käytön perinne juontaa Euroopassa Kreikan antiikkiin. Yhdessä muuttujan x muutoksen dx kanssa voitiin nyt esitellä muutosnopeus dy/dx, joka kutsutaan Leibnizin merkinnäksi derivaatalle. Vaikka luvut dy ja dx olisivatkin äärimmäisen pieniä lukuja ei osamäärä dy/dx sitä ole.

Koska infinitesimaalien käyttöä kritisoitiin voimakkaasti 1700- ja 1800-luvuilla, julkaisi Augustin-Louis Cauchy uuden differentiaalin määritelmän, joka ei enää käyttänyt infinitesimaalin käsitteitä määrittelyn perusteinaan. Sen sijaan se määriteltiin derivaatan avulla, joka taas määriteltiin raja-arvon avulla. Tästä alkoi kehitys, joka tarkensi analyysin käsitteiden perusteita tehden tästä matematiikan haarasta laajemmin hyväksytyn.

Infinitesimaaleista ei kuitenkaan päästy eroon. Monissa fysiikan ja tekniikan alalla sitä käytetään rinnakkain raja-arvoon perustuvan matematiikan rinnalla. Haluttomuus luopua infinitesimmaleista johtunee niillä laskemisen vaivattomuudesta.[4]

MerkitysMuokkaa

Yhden muuttujan tapauksessa (viereinen kuvaaja) tarkastelupisteeseen piirretty tangentti erottaa differenssistä   (kuviossa RS) differentiaalin   (RQ), joka jää kuviossa tangentin alle. Differentiaali on siten funktion muutoksessa sen lineaarinen komponentti ja se kuvaa melko tarkasti funktion muutosta tarkastelupisteen lähellä. Differenssi, joka on funktion todellinen muutos, on melkein saman suuruinen kuin differentiaali. Korvaamalla differenssi differentiaalilla tehdään pieni virhe. Raja-arvotilanteessa, kun väli   lyhenee melkein nollaksi, pienenee virhe hyvin pieneksi, joten tarkastelupisteessä differentiaalia voisi käyttää erotusosamäärän lausekkeessa (derivaatan määrittämiseksi) yhtä hyvin kuin differenssiäkin. Monesti funktion kulkua tarkastelupisteessä kuvataankin tangenttisuoralla, jonka derivaatta on sama kuin funktion käyrällä. Differentiaalit liittyvätkin muutostarkasteluihin, joissa funktion käyrä tai pinta korvataan tangentin suuntaisilla vektoreilla. Funktion differenssit lasketaan silloin likiarvoilla [5][6][7]

 

DifferenssiMuokkaa

Funktion muuttumista voidaan tutkia laskemalla sen arvoja eri muuttujan x arvoilla. Kun funktion   arvo lasketaan arvolla  , saadaan   Siirrytään sopivan matkan   etäisyydelle ja lasketaan uusi funktion arvo   Funktion arvojen differenssi   (engl. difference eli erotus) pisteessä   on [2][5][8]

 

Usein tämä merkitään myös

 

Differentiaali ja korjaustermiMuokkaa

Merkitään virhefunktiota   ja havaitaan, että se riippuu muuttujan arvosta x ja siirtymästä h. Silloin erotusosamäärän ja derivaatan erotus tarkoittaa virhettä, joka tehdään, kun erotusosamäärän arvolla korvataan derivaatan tarkkaa arvoa. Virhe lasketaan siten [2][5]

 

Voidaan osoittaa, että jos korjaustermi pienenee olemattomaksi

 

on funktio derivoituva kyseisessä pisteessä x.

Kertomalla edellinen yhtälö luvulla h, saadaan [2][5][7]

 

Sama yhtälö voidaan merkitä myös

 

eli

 

Yhtälön vasenta puolta kutsutaan differenssiksi   ja oikealla puolella ovat differentiaali  , joka merkitään joskus  , ja korjaustermi   Merkinnällä   viitataan funktion arvojen (vanhanaikaiseen) infinitesimaaliseen muutokseen.[9]

MerkintöjäMuokkaa

Kun käytetään suureita   ja   ja suure   riippuu suureesta  , voidaan differentiaali merkitä [5][7]

 

tai

 

kun ollaan hyvin lähellä tarkastelupistettä eli  

Jos tunnetaan  :n lauseke  , voidaan merkitä myös [4]

 

Yleisesti voidaan myös merkitä [10] funktiolle   sen differentiaalia

 

LikiarvoistaMuokkaa

Funktion lisäys eli differenssi on määritelty

 

joka voidaan esittää myös differentiaalin avulla

 

missä   kun   Funktion lisäystä voidaan siksi approksimoida differentiaalin avulla hyvinkin tarkasti, kun h on riittävän pieni. Silloin on rajallemenon loppuvaiheessa jo

 [9][5][4][7]

Usean muuttujan funktiotMuokkaa

Usean muuttujan funktio, joka saa reaalilukuarvoja, on skalaarikenttä  . Funktio f on differentioituva tarkastelupisteessä  , jos sillä on olemassa siinä pisteessä, ja pisteen lähiympäristössä, kaikkien muuttujiensa osittaisderivaatat. Silloin funktiolla on olemassa myös gradientti ja funktiolle voidaan kirjoittaa differentiaalikehitelmä

 

missä   ja kertolasku on vektorien pistetulo. Kehitelmässä lauseke

 

on funktion differentiaali df. Merkintä   (lue "nabla f") tarkoittaa funktion gradienttia pisteessä  . Gradientti ilmaisee funktion suunnatun derivaatan suurimman arvon ja suunnan. Kun gradientti kerrotaan sunnalla  , saadaan tarkastelupisteen suunnatun derivaatan arvo suunnassa  .

LähteetMuokkaa

ViitteetMuokkaa

  1. Weisstein, Eric W.: Differential (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. a b c d Kivelä, Simo K. & Nurmiainen, Riikka & Spåra, Mika: Differentiaali, 2001
  3. Zeng, Anping: Geometric Difference between a Finite Difference and a Differential, Wolfram demostrations, 2014
  4. a b c Keisler, H. Jerome: Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach, luku 2 (Differentiation), s. 53–60 2013
  5. a b c d e f Encyclopedia of Math: Differential, katsottu 10.10.2014
  6. Keisler, H. Jerome: Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach, luku 2 (Differentiation), s. 46–52, 2013
  7. a b c d Hassi, Seppo: Matemaattiset menetelmät II, s. 8–14
  8. Keisler, H. Jerome: Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach, luku 2 (Differentiation), s. 45, 2013
  9. a b Weisstein, Eric W.: Infinitesimal (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  10. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. TKK:n 1. ensimmäisen lukuvuoden laaja matematiikka. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 (painettu) ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).

Aiheesta muuallaMuokkaa