Osamäärän derivoimissääntö

Osamäärän derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka on esitettävissä kahden helpommin derivoitavan funktion osamääränä.

Lauseen muotoilu

Olkoon funktio $f:A\to \mathbb {R}$ esitettävissä funktioiden $g$ ja $h$ osamääränä $f\left(x\right)={\frac {g\left(x\right)}{h\left(x\right)}}$. Olkoot lisäksi funktiot $g$ ja $h$ derivoituvia pisteessä $a\in A$ ja $h\left(x\right)\neq 0$. Tällöin $f'\left(a\right)={\frac {g'\left(a\right)h\left(a\right)-g\left(a\right)h'\left(a\right)}{h\left(a\right)^{2}}}$.

Todistus

Derivaatan määritelmän mukaan

$f'\left(a\right)=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {f\left(a+\Delta a\right)-f\left(a\right)}{\Delta a}}$

Sijoitetaan funktion $f$ tilalle osamäärä $g/h$

$=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {{\frac {g\left(a+\Delta a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)}}-{\frac {g\left(a\right)}{h\left(a\right)}}}{\Delta a}}$

Lavennetaan osamäärät samannimisiksi

$=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {{\frac {g\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}}-{\frac {g\left(a\right)h\left(a+\Delta a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}}}{\Delta a}}$

Siirretään yhteinen nimittäjä koko osamäärän nimittäjään

$=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {g\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)-g\left(a\right)h\left(a+\Delta a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)\Delta a}}$

Lisätään ja vähennetään termi $g\left(a\right)h\left(a\right)$

$=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {g\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)-g\left(a\right)h\left(a+\Delta a\right)+g\left(a\right)h\left(a\right)-g\left(a\right)h\left(a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)\Delta a}}$

Otetaan $h\left(a\right)$ ja $-g\left(a\right)$ yhteisiksi tekijöiksi

$=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {\left(g\left(a+\Delta a\right)-g\left(a\right)\right)h\left(a\right)-g\left(a\right)\left(h\left(a+\Delta a\right)-h\left(a\right)\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)\Delta a}}$

Supistetaan termillä $\Delta a$

$=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {{\frac {g\left(a+\Delta a\right)-g\left(a\right)}{\Delta a}}h\left(a\right)-g\left(a\right){\frac {h\left(a+\Delta a\right)-h\left(a\right)}{\Delta a}}}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}}$

Siirretään raja-arvo termeihin erikseen (sillä summan raja-arvo on raja-arvojen summa, samoin osamäärän raja-arvo on raja-arvojen osamäärä)

$={\frac {\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {g\left(a+\Delta a\right)-g\left(a\right)}{\Delta a}}h\left(a\right)-g\left(a\right)\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {h\left(a+\Delta a\right)-h\left(a\right)}{\Delta a}}}{\lim _{\Delta a\to 0}h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}}$

Havaitaan, että näin syntyneet raja-arvot ovat funktioiden $g$ ja $h$ erotusosamäärien raja-arvoja, eli derivaattoja

$={\frac {g'\left(a\right)h\left(a\right)-g\left(a\right)h'\left(a\right)}{h\left(a\right)^{2}}}$.

Esimerkkejä

Esimerkki 1

Määritä funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $f\left(x\right)={\frac {x^{2}-2}{2x^{4}+7}}$ derivaatta pisteessä $x=2$.

Funktio $f$ voidaan selvästi esittää kahden funktion, $g\left(x\right)=x^{2}-2$ ja $h\left(x\right)=2x^{4}+7$ osamääränä. Molemmat funktiot ovat derivoituvia pisteessä $x=2$ ja funktiolla $h$ ei ole nollakohtia. Käytetään siis osamäärän derivoimissääntöä.

Lasketaan ensin funktioiden $g$ ja $h$ derivaattafunktiot: $g'\left(x\right)=2x$, $h'\left(x\right)=8x^{3}$. Osamäärän derivoimissäännön mukaan seuraava pätee:

$f'\left(2\right)={\frac {g'\left(2\right)h\left(2\right)-g\left(2\right)h'\left(2\right)}{h\left(2\right)^{2}}}$

Sijoittamalla derivaatat lausekkeeseen saadaan

$f'\left(2\right)={\frac {\left(2\cdot 2\right)\left(2\cdot 2^{4}+7\right)-\left(2^{2}-2\right)\left(8\cdot 2^{3}\right)}{\left(2\cdot 2^{4}+7\right)^{2}}}={\frac {28}{1521}}.$

Esimerkki 2

Määritä funktion $f\left(x\right)={\frac {\left|x\right|+1}{\left|x\right|+1}}$ derivaatta pisteessä $x=0$.

Emme voi käyttää osamäärän derivoimissääntöä, sillä $|x|+1$ ei ole derivoituva pisteessä $x=0$, mutta saamme sievennettyä lausekkeen muotoon $f\left(x\right)=1$, jonka derivaatta jokaisessa pisteessä on nolla.

Tämä esimerkki osoittaa, että vaikka osamäärän derivoimissääntö onkin kätevä, se ei aina ole paras tapa derivoida funktiota, joka voidaan esittää kahden funktion osamääränä.

Lähteet

• Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.1 wiki.helsinki.fi. Syksy 1999. Viitattu 3.10.2011. (suomeksi)