Osamäärän derivoimissääntö

Osamäärän derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka on esitettävissä kahden helpommin derivoitavan funktion osamääränä.

Lauseen muotoiluMuokkaa

Olkoon funktio   esitettävissä funktioiden   ja   osamääränä  . Olkoot lisäksi funktiot   ja   derivoituvia pisteessä   ja  . Tällöin  .

TodistusMuokkaa

Derivaatan määritelmän mukaan

 

Sijoitetaan funktion   tilalle osamäärä  

 

Lavennetaan osamäärät samannimisiksi

 

Siirretään yhteinen nimittäjä koko osamäärän nimittäjään

 

Lisätään ja vähennetään termi  

 

Otetaan   ja   yhteisiksi tekijöiksi

 

Supistetaan termillä  

 

Siirretään raja-arvo termeihin erikseen (sillä summan raja-arvo on raja-arvojen summa, samoin osamäärän raja-arvo on raja-arvojen osamäärä)

 

Havaitaan, että näin syntyneet raja-arvot ovat funktioiden   ja   erotusosamäärien raja-arvoja, eli derivaattoja

 .

EsimerkkejäMuokkaa

Esimerkki 1Muokkaa

Määritä funktion  ,   derivaatta pisteessä  .

Funktio   voidaan selvästi esittää kahden funktion,   ja   osamääränä. Molemmat funktiot ovat derivoituvia pisteessä   ja funktiolla   ei ole nollakohtia. Käytetään siis osamäärän derivoimissääntöä.

Lasketaan ensin funktioiden   ja   derivaattafunktiot:  ,  . Osamäärän derivoimissäännön mukaan seuraava pätee:

 

Sijoittamalla derivaatat lausekkeeseen saadaan

 

Esimerkki 2Muokkaa

Määritä funktion   derivaatta pisteessä  .

Emme voi käyttää osamäärän derivoimissääntöä, sillä   ei ole derivoituva pisteessä  , mutta saamme sievennettyä lausekkeen muotoon  , jonka derivaatta jokaisessa pisteessä on nolla.

Tämä esimerkki osoittaa, että vaikka osamäärän derivoimissääntö onkin kätevä, se ei aina ole paras tapa derivoida funktiota, joka voidaan esittää kahden funktion osamääränä.

LähteetMuokkaa