Avaa päävalikko

Hyperbolinen funktio

matemaattinen funktio
Hyperbolisten funktioiden kuvaajat

Hyperboliset funktiot ovat eksponenttifunktion avulla määriteltyjä matemaattisia funktioita, jotka useilta ominaisuuksiltaan muistuttavat trigonometrisia funktioita. [1]

MääritelmätMuokkaa

Hyperbolinen sini määritellään eksponenttifunktion avulla seuraavasti:

 

Hyperbolinen kosini, joka tunnetaan myös ketjukäyränä, on vastaavasti:

 

Näiden suhde on hyperbolinen tangentti

 

Hyperbolinen kotangentti, sekantti ja kosekantti määritellään näiden avulla samalla tavalla kuin trigonometriset vastineensa:

 
 
 

MuunnoskaavojaMuokkaa

Hyperbolisten funktioiden muunnoskaavat muistuttavat vastaavien trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja:

 
 , koska   on parillinen funktio.
 

Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot ovat areafunktioita.

Hyperboliset funktiot ja yksikköhyperbeliMuokkaa

Samaan tapaan kuin yksikköympyrän (x2 + y2 = 1) pisteillä (x, y) on trigonometrisiin funktioihin perustuva parametriesitys:

 
 ,

voidaan yksikköhyperbelin (x2 - y2 = 1) pisteiden koordinaatit esittää muodossa

 
 .

Tästä johtuukin nimitys hyperboliset funktiot.

Toisin kuin trigonometriset funktiot, hyperboliset funktiot eivät kuitenkaan ole reaalilukualueessa jaksollisia.

DerivaatatMuokkaa

Hyperbolinen sini ja kosini ovat toistensa derivaattoja:

 
 

Hyperbolisen tangentin derivaatta on

 

Funktiot kompleksialueessaMuokkaa

Sekä trigonometriset että hyperboliset funktiot voidaan määritellä myös kompleksiluvuille. Koska Eulerin kaavojen mukaan eksponenttifunktio määritellään kompleksiluvuille trigonometristen funktioiden avulla seuraavasti:

 
 

saadaan tästä hyperbolisille funktioille lausekkeet:

 
 
 
 
 
 


Täten kompleksialueessa trigonometriset ja hyperboliset funktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Kompleksialueessa myös hyperboliset funktiot ovat jaksollisia: hyperbolisen sinin ja kosinin jakso on  , hyperbolisen tangentin  .

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 412–414 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa

  • GonioLab: Havainnollistamaittu trigometria