Hitaussäde

Hitaussäteeksi kutsutaan suuretta, joka kuvaa pyörivän kappaleen hitautta. Se lasketaan ottamalla kappaleen massayksiköiden ja pyörimisakselin välisistä etäisyyksistä neliöllinen keskiarvo.

Sovellukset rakennesuunnittelussa

Rakennesuunnittelussa sovelletaan kaksiulotteista hitaussädettä. Hitaussäde lasketaan kaavalla:

$R_{\mathrm {g} }^{2}={\frac {I}{A}},$

tai

$R_{\mathrm {g} }={\sqrt {\frac {I}{A}}},$

jossa I on jäyhyysmomentti ja A on kokonaispoikkipinta-ala. Hitaussäde on käyttökelpoinen arvioitaessa palkin jäykkyyttä. Jos kaksiulotteisen pyörimistensorin diagonaalikomponentit (pääjäyhyysakselit) ovat erisuuret, palkki altistuu rakenteelliselle deformaatiolle akselinsa ympäri pienemmän diagonaalimomentin suuntaan.

Jatkuvan aineen tapauksessa hitaussäde lasketaan yleensä integroimalla kappaleen tilavuuden yli.

Sovellutukset mekaniikassa.

Hitaussäde (r) halutun akselin ympäri voidaan laskea hitausmomenttien I ja massan kautta seuraavasti:

$r_{\mathrm {g} }^{2}={\frac {I}{m}},$

tai

$r_{\mathrm {g} }={\sqrt {\frac {I}{m}}}.$

Jossa I on skalaari, eikä hitausmomenttitensori.

Sovellutukset molyyleille

Polymeerifysiikassa hitaussädettä käytetään kuvaamaan polymeeriketjun mittasuhteita. Yksittäisellä ajanhetkellä molekyylin hitaussäde voidaan laskea seuraavasti:

$R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right)^{2},$

Jossa $\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }$ ovat yksittäisten monomeerien avaruudellisten asemien keskiarvo. Huomataan, että hitaussäde on verrannollinen yksittäisten monomeerien välisten etäisyyksien neliölliseen keskiarvoon:

$R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right)^{2}.$

Kolmas tapa laskea hitausäde on laskea pyörimistensorin diagonaalikomponenttien summa.

Polymeeriketju ei ole jäykkä kappale. Kappaleen konformaatio muuttuu jatkuvasti ja kappaleen hitaussäde on ymmärrettävä keskiarvoksi yksittäisistä hitaussäteistä ajan kuluessa:

$R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\langle \sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right)^{2}\rangle ,$

Jossa kulmasulkeet $\langle \ldots \rangle$ takoittavat joukon keskiarvoa.

Täysin vapaa polymeeriketju noudattaa satunnaiskävelijää kolmessa ulottuvuudessa. Tällaisessa tapauksessa hitaussäde on:

$R_{\mathrm {g} }={\frac {1}{{\sqrt {6}}\ }}\ {\sqrt {N}}\ a.$

$aN$ edustaa yksittäisen monomeerin pituutta polymeerissä. Kuitenkin $a$ on vahvasti riippuvainen polymeerin jäykkyydestä ja voi vaihdella useita kertalukuja, jolloin $N$ pienenee samassa suhteessa.

Yksi syy miksi hitausäde on mielenkiintoinen suure, on sen helppo mittaaminen useilla fyysisillä menetelmillä. Esimerkiksi pienkulmaneutronisironnalla tai pienkulmaröntgensirontalla voidaan mitata nanometrien tai kymmenien nanometrien kokoluokkaa olevien hiukkasten hitaussäde. Teoreettiset polymeerifyysikot voivat näin tarkistaa mallinsa suhteessa kokeelliseen maailmaan.

Identiteetin osoitus

Osoitetaan, että kaksi määritelmää $R_{\mathrm {g} }^{2}$ ovat tauntologioita:

$R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right)^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left[\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }-2\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right].$

Lasketaan summa kahden viimeisen termin yli soveltaen määritelmään $\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }$, jolloin päädytään kaavaan:

$R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }+{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right).$

Lähteet

• Grosberg AY and Khokhlov AR. (1994) Statistical Physics of Macromolecules (translated by Atanov YA), AIP Press. ISBN 1563960710
• Flory PJ. (1953) Principles of Polymer Chemistry, Cornell University, pp. 428–429 (Appendix C o Chapter X).