Avaa päävalikko
Vauhtipyörissä on suuri hitausmomentti, mikä tasaa koneen epätasaista käyntiä.

Hitausmomentti eli inertiamomentti (tunnus J tai I) vastaa pyörivässä liikkeessä etenemisliikkeen massaa. Hitausmomentin SI-järjestelmän mukainen yksikkö on kg·m² (kilogramma kertaa metri toiseen). Mitä suurempi kappaleen hitausmomentti on, sitä suurempi momentti vaaditaan, jotta kappale saadaan kiihtymään halutulla kulmakiihtyvyydellä.

Hitausmomentilla (tarkemmin tasopinnan hitausmomentilla) tarkoitetaan joskus lujuusopissa myös jäyhyyttä.

Matemaattinen määritelmäMuokkaa

Etäisyydellä r pyörimisakselista oleva pistemäisen massan m hitausmomentti on

 

Useista pienistä massoista koostuvassa systeemissä hitausmomentti on kaikkien yksittäisten massojen aiheuttamien hitausmomenttien summa:

 

Jatkuva massajakauma koostuu äärettömästä määrästä pistemäisiä massoja. Kappaleen kokonaishitausmomentti saadaan integroimalla kaikki massat kolmiulotteisen avaruuden yli:

 

missä   on tiheysjakauma tilan yli. Koska  , saadaan

 

Erilaisten kappaleiden hitausmomenttejaMuokkaa

  • Massattoman varren päässä oleva pieni kappale: J = mr², jossa r on kohtisuora etäisyys pyörimisakselista ja m kappaleen massa
  • Tanko, joka toimii heilurina pyörimisakselin ollessa tangon toisessa päässä, hitausmomentti J = 1/3 · ml², jossa l on tangon pituus
  • Tangon, jonka pyörimisakseli on keskipisteessä, hitausmomentti J = 1/12 · ml²
  • Ympyrälevyn ja umpinaisen sylinterin hitausmomentti J = 1/2 · mr²
  • Ympyrärenkaan ja ohutseinäisen sylinterin hitausmomentti J = mr²
  • Umpinaisen pallon hitausmomentti J = 2/5 · mr²
  • Ohutseinäisen pallon hitausmomentti J = 2/3 · mr²

HitausmomenttitensoriMuokkaa

Tarkastellaan jäykkää kappaletta, joka koostuu  :stä kappaleesta, joiden massat ovat  , missä  . Oletetaan, että kappale pyörii hetkellisesti kulmanopeudella   jonkin kappaleeseen kiinnitetyn pisteen suhteen. Jos tämä kiinnitetty piste liikkuu suoraviivaisesti nopeudella   ulkoisen tarkastelijan koordinaatistossa, on minkä tahansa massapisteen nopeus

 , [1]

missä   kyseisen pisteen paikkavektori kappaleen omassa koordinaatistossa. Kappaleen kineettinen energia on tällöin

 . [1]

Koska ristitulon pituuden neliö voidaan kirjoittaa

 ,

on rotaatioenergia on tällöin

 . [1]

Jaetaan kulmanopeus- ja paikkavektorit komponentteihinsa   ja  . Nyt rotaatioenergia kirjoitetaan muodossa

 .

Kroneckerin deltan avulla vektorien komponenteille pätee  , joten:

 

Määritellään  -summan  :s termi suureeksi  , ts.

 .

Tällöin rotaatioenergia voidaan kirjoittaa tutumpaan muotoon:

 ,

missä   on kappaleen hitausmomentti (skalaari). Termejä   on yhdeksän kappaletta ja ne voidaan sijoittaa  -matriisin alkioiksi:

 [1]

Matriisia   kutsutaan hitausmomenttitensoriksi ja se on luonteeltaan tensori. Matriisin lävistäjäalkiot  ,   ja   ovat kappaleen hitausmomentit  -,  - ja  -akselien suhteen.[1] Jos käytetään koordinaattien   sijaan karteesisia koordinaatteja   ja merkitsemällä  , tensori   voidaan kirjoittaa helppokäyttöisempään muotoon:

 

Hitausmomenttitensori on symmetrinen, ts.  . Hitausmomenttitensorille pätevät samat matriisien yhteenlaskusäännöt, joten mielivaltaisen muotoisen kappaleen hitausmomenttitensori voidaan rakentaa summaamalla sen eri osien hitausmomenttitensorit. Edelleen, jos kappaleen massajakauma on jatkuva siten, että sen tiheys on  , niin

 ,

missä   on paikkavektorin   osoittamassa pisteessä oleva differentiaalinen tilavuusalkio ja   on kappaleen tilavuus.[1]

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. a b c d e f Thornton, Stephen T. & Marion, Jerry B.: Classical Dynamics of Particles and Systems, 5. painos, s. 415–418. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2008. ISBN 978-0-495-55610-7. (englanniksi)


Tämä fysiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.