Paloittain määritelty funktio

Paloittain määritelty funktio tarkoittaa matematiikassa funktiota, joka on määritelty eri tavoin määrittelyjoukkonsa osajoukoissa.[1] Funktion määritteleminen paloittain on tarpeen silloin, kun yksi tietty funktio ei riitä kuvaamaan tarkasteltavaa tilannetta tai kun halutaan laajentaa funktion määrittelyjoukkoa sellaisiin joukkoihin, joissa se ei muutoin olisi mahdollista.

Itseisarvofunktio on eräs esimerkki paloittain määritellystä funktiosta.

Funktion määrittely paloittainMuokkaa

Olkoon   ja   joukkoja ja joukolla     kappaletta erillisiä osajoukkoja,  , jotka osittavat joukon  . Ts.   kaikilla  ,   kaikilla   ja  . Olkoon lisäksi joukoilta   joukolle   funktiot

 .

Tällöin funktio  ,

 

on paloittain määritelty funktio. Funktion määrittelemisessä paloittain on ehtoja, joiden tulee toteutua:

  1. Osajoukkojen   tulee olla erillisiä. Näin varmistetaan, että paloittain määritelty funktio on funktio, eli se ei saa kahta tai useampaa eri arvoa samassa pisteessä.
  2. Osajoukkojen   tulee täyttää määrittelyjoukko  . Näin varmistetaan, että funktio on hyvin määritelty (määrittelyjoukkoon ei jää ''aukkoja'').
  3. Funktion   pitää olla määritelty koko osajoukossa  . Tämä liittyy edelliseen kohtaan.

Esimerkiksi, jos määrittelyjoukosta   otetaan osajoukot  ,   ja  , niin funktiota   ei voi määritellä paloittain joukkojen  ,   ja   avulla, sillä ehdot 1. ja 2. eivät toteudu (  ja   eivät ole erillisiä joukkoja ja luku 5 ei kuulu yhteenkään osajoukoista). Osajoukkoja voi olla myös äärettömän monta.

EsimerkkejäMuokkaa

ErikoisfunktioitaMuokkaa

  •  
    Heavisiden funktio
    Yksinkertaisimpia paloittain määriteltyjä funktioita edustaa Heavisiden funktio  
 
Sen määrittelyjoukko on koko reaaliakseli.
  •  
    Signum-funktio
    Signum-funktio  
 
Sen määrittelyjoukko on koko reaaliakseli.
  • Yleisesti ottaen kaikki porrasfunktiot ovat paloittain määriteltyjä funktioita.
  • Indikaattorifunktio on paloittain määritelty funktio.
  • Reaaliluvun   itseisarvo on paloittain määritelty funktio:
 

Muita esimerkkejäMuokkaa

 
Paloittain määritellyn funktion kuvaajassa avoin ympyrä tarkoittaa määrittelyjoukon osavälin avointa päätepistettä ja suljettu vastaavasti suljettua päätepistettä.

Funktio  ,

 

on paloittain määritelty koko reaaliakselilla ja se koostuu kolmesta eri funktiosta, jotka on määritelty omilla osaväleillään  ,   ja  . Osa funktion graafista on esitetty viereisessä kuvassa.

Paloittain määriteltyjen funktioiden ominaisuuksiaMuokkaa

Yhden reaalimuuttujan reaaliarvoiset funktiotMuokkaa

  • Paloittain määritelty funktio on jatkuva, jos se on paloittain jatkuva ja lisäksi jokaisessa määrittelyvälin reunapisteessä   pätee jatkuvuusehto
 .

LähteetMuokkaa

  1. Adams, Robert A. & Essex, Christopher: Calculus, A Complete Course, 8. painos, s. 36. Pearson, 2014. ISBN 978-0-321-78107-9. (englanniksi)