Avaa päävalikko

Tilavuusintegraali on yleistys pintaintegraalista.

Tilavuusintegraali on kolmoisintegraali jatkuvasta vakiofunktiosta 1, joka määrää joukon D tilavuuden. Joukon D tilavuus on siis

Jatkuvan funktion integraali joukon yli on kolmoisintegraali

Tilavuusintegraali pallokoordinaatistossa on muotoa (kts. kohta "Muuttujanvaihto")

ja sylinterikoordinaatistossa (kts. kohta "Muuttujanvaihto")


MääritelmäMuokkaa

Olkoon   kompakti, reuna   nollajoukko ja   jatkuva. Tällöin integraali   on olemassa.[1] Joukon   tilavuus määritellään kaavalla  , jos integraali on olemassa.

MuuttujanvaihtoMuokkaa

Olkoot   avoimia,   ja   kompakteja,   ja   nollajoukkoja sekä   bijektiivinen  -kuvaus,  . Jos   on jatkuva, niin

 ,

missä   on kuvauksen   jacobiaani eli Jacobin determinantti

 ,

ja   ovat  :n koordinaattifunktiot.[2]


Kuvaukselle  ,  , missä

 

saadaan Jacobin determinantiksi  , kun sijoitetaan pallokoordinaattien osittaisderivaatat Jacobin determinantin kaavaan.

Sylinterikoordinaatistossa vastaavanlaisella periaatteella saadaan koordinaateista

 

Jacobin determinantiksi  .

EsimerkkiMuokkaa

Lasketaan  :n R-säteisen pallon tilavuus integraalilla   pallokoordinaatteihin sijoituksella:

 

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Olli Martio: Vektorianalyysi, s. 128, Limes ry, 2.korjattu painos. ISBN 951-745-205-5
  2. Olli Martio: Vektorianalyysi, s. 130, Limes ry, 2.korjattu painos. ISBN 951-745-205-5

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa