Sijoitusmenetelmä (integraalilaskenta)

Sijoitusmenetelmä eli muuttujanvaihto on integraalilaskennassa usein käytetty, yhdistetyn funktion derivoimissääntöön eli ketjusääntöön perustuva menetelmä annetun funktion integroimiseksi. Sijoitusmenetelmää käytettäessä ikään kuin sovelletaan ketjusääntöä takaperoisesti.

Yhden muuttujan vaihtoMuokkaa

JohdantoMuokkaa

Annetun funktion integraalifunktion määrittäminen ei aina ole yksinkertainen tehtävä. Aina integraalifunktiota ei edes voi esittää alkeisfunktioiden avulla.[1] Joidenkin funktioiden, esimerkiksi polynomien, eksponenttifunktion sekä sinin ja kosinin integraalifunktiot saadaan kuitenkin yksinkertaisesti soveltamalla derivoimissääntöjä takaperin.[2]

Monissa tapauksissa integrointia voidaan tehostaa sopivilla apukeinoilla. Tärkeimpiä tällaisia apukeinoja ovat sijoitusmenetelmä eli muuttujanvaihto sekä osittaisintegrointi.

Oletetaan, että funktio f on määritelty välillä Δ ja että F on jokin sen integraalifunktio, toisin sanoen

 .

Muuttujan vaihto voidaan suorittaa ottamalla käyttöön apufunktio  , joka täyttää seuraavat ehdot:

  1. x on jatkuvasti derivoituva välillä δ'
  2. x on aidosti monotoninen välillä δ', joten sillä on käänteisfunktio  
  3. x kuvaa välin δ' välille δ

Jos nämä ehdot täyttyvät, integraalissa

 

voidaan ottaa käyttöön uusi muuttuja sijoituksella x = x(u), missä funktio u -> x(u) täyttää edellä olevat ehdot. Tällöin f(x) on korvattava lausekkeella f(x(t)) ja dx lausekkeella x'(t)dt).[1]

Kun integrointi on suoritettu, on integraalifunktiota määritettäessä palautettava muuttuja x sijoittamalla u = u(x).[1]

Uusi muuttuja u on valittava niin, että saatu funktio on helpommin integroitavissa kuin alkuperäinen funktio.

Kun sijoituksen avulla määritetään määrätty integraali, on myös integroimisrajat muutettava niin, että integroimisvälin ala- ja ylärajoiksi määritetään ne u:n arvot, jotka u saa alkuperäisen, x:n avulla määritellyn integroimisvälin ala- ja ylärajalla.

Määrätty integraaliMuokkaa

Olkoon   differentioituva funktio, jolla on jatkuva derivaatta, kun   on jokin väli. Oletetaan lisäksi, että   on jatkuva funktio. Silloin on [3]

 

Käytettäessä lausekkeen   derivaatalle Leibnizin merkintää saadaan:

 

Käyttämällä heuristisesti infinitesimaaleja saadaan yhtälö

 ,

mistä näyttää seuraavan edellä oleva muunnoskaava. Täsmällisesti se voidaan todistaa tulkitsemalla se differentiaalimuotoja koskevaksi lauseeksi. Integrointia sijoitusmenetelmällä voidaankin käyttää perusteluna Leibnizin käyttöön ottamille derivaatan ja integraalin merkintätavoille.

Tämän lauseen avulla integraali voidaan usein muuttaa toiseksi integraaliksi, joka on helpommin laskettavissa. Kaava voidaankin lukea vasemmalta oikealle tai oikealta vasemmalle integraalin yksinkertaistamiseksi. Kun se luetaan vasemmalta oikealle, sitä sanotaan toisinaan u-sijoitukseksi tai w-sijoitukseksi. Silloin uusi muuttuja määritellään alkuperäisen muuttujan funktiona, joka esiintyy funktiossa, joka saadaan kertomalla yhdistetty funktio sisäfunktion derivaatalla. Oikealta vasemmalle kaavaa luetaan lähinnä korvattaessa alkuperäinen muuttuja jollakin uuden muuttujan trigonometrisella funktiolla ja alkuperäinen differentiaali trigonometrisen funktion differentiaalilla.

TodistusMuokkaa

Sijoitusmenettelyn perustana oleva lause voidaan johtaa analyysin peruslauseesta seuraavasti. Olkoot   ja   kaksi funktiota, joista   on jatkuva välillä   ja   integroituva suljetulla välillä  . Silloin myös funktio   on integroituva välillä [a, b]. Niinpä integraalit

 

ja

 

ovat molemmat olemassa, ja on vain osoitettava, että ne ovat yhtä suuret.

Koska   on jatkuva, sillä on integraalifunktio  . Yhdistetty funktio   on silloin määritelty. Koska   on differentioituva, yhdistmällä ketjusääntö ja integraalifunktion määritelmä saadaan

 

Soveltamalla analyysin peruslausetta kahdesti saadaan:

 

mikä on juuri sijoitus- eli muuttujanvaihtosääntö.

EsimerkkejäMuokkaa

Esimerkki 1:Muokkaa

Tarkastellaan integraalia

 

Tehdään sijoitus  , jolloin  , mikä merkitsee, että  . Niinpä,

 

Koska alaraja   korvattiin alarajalla   ja yläraja   ylärajalla  , muunnosta takaisin muuttujan   sisältäväksi lausekkeeksi ei tarvita.

Vaihtoehtoisesti voidaan ensin käsitellä määräämätöntä integraalia eli integraalifunktiota niin pitkälle kuin mahdollista ja ottaa reunaehdot huomioon vasta sen jälkeen. Tämä on käytännöllistä varsinkin, jos suoritettavia muuttujanvaihdoksia on useita.

Esimerkki 2:Muokkaa

Integraalille

 

on käytettävä edellisen menetelmän muunnelmaa. Sijoitus  , josta seuraa  , on käyttökelpoinen, koska  . Saadaan siis

 

Tuloksena saatu integraali voidaan laskea joko osittaisintegroinnilla tai soveltamalla kaksinkertaisen kulman trigonometrisia funktioita koskevaa yhteyttä   ja tekemällä toinenkin muuttujanvaihto. Voidaan myös huomata, että integroitava funktio on yksikköympyrän ylempi oikeanpuoleinen neljännes, ja niinpä tämän funktion integraali välillä [0, 1] merkitsee geometrisesti yksikkökiekon neljänneksen pinta-alaa, joka on  .

IntegraalifunktioMuokkaa

Sijoitusmenetelmällä voidaan määrittään annetun funktion integraalifunktio eli antiderivaatta. Ensin valitaan muuttujaksi u jokin x:n funktio, minkä jälkeen johdetaan differentiaalille du lauseke dx:n avulla ja päinvastoin sekä suoritetaan muuttujanvaihto. Jos muodostetun u:n funktion integraalifunktio on määritettävissä, sellaiseksi saadaan toinen u:n funktio, joka lopuksi ilmaistaan jälleen x':n funktiona.

Edellä esimerkissä 1 käsitellylle funktiolle voidaan muuttujanvaihdolla määrittää integraalifunktio seuraavasti:

 

missä   on mielivaltainen integroimisvakio.

Tässä tapauksessa ei ole integroimisrajoja, jotka olisi muunnettava, mutta viimeinen vaihe, jossa alkuperäinen muuttujanvaihto   suoritetaan käänteiseen suuntaan, on välttämätön. Kun määrätty integraali lasketaan sijoitusmenetelmällä, onkin ensin muodostettava integraalifunktio ja sitten muutettava integroimisrajat sen mukaisiksi. Sen sijaan pelkästään integraalifunktiota määritettäessä ei integroimisrajojen käsittelyä tarvita.

Tangenttifunktio voidaan myös integroida sijoitusmenetelmällä esittämällä se sinin ja kosinin avulla:

 

Suoritetaan sijoitus  , jolloin saadaan   ja edelleen

 

Muuttujanvaihto useamman muuttujan funktioilleMuokkaa

Muuttujanvaihtoa voidaan käyttää myös integroitaessa useamman muuttujan funktioita. Silloin korvausfunktion   on oltava injektio ja jatkuvasti differentioituva, ja differentiaalit muuntuvat muotoon

 

missä   tarkoittaa funktion   osoittaisderivaattojen Jacobin matriisin determinanttia pisteessä  . Tämä kaava ilmaisee sen seikan, että matriisin determinantin itseisarvo on yhtä suuri kuin sen sarakkeiden ja rivien määrittämän parallelotoopin tilavuus.

Täsmällisemmin muuttujanvaihtokaavan ilmaisee seuraava lause:

Lause. Olkoon   avoin joukko ja   injektiivinen differentioituva funktio, jolla on jatkuvat osittaisderivaatat ja jonka Jacobin determinantti ei ole nolla missään U:n pisteessä. Silloin jokaiselle reaaliarvoiselle, kompaktissa joukossa määritellylle funktiolle f, jonka määrittelyjoukko sisältyy  :hun, pätee:

 

Lauseen ehtoja voidaan heikentää eri tavoin. Esimerkiksi vaatimus, että  :n on oltava jatkuvasti differentoituva, voidaan korvata heikommalla ehdolla, että   on differentoituva ja että sillä on jatkuva käänteisfunktio.[4] Käänteisfunktiolause takaa, että tämä ehto pätee aina, jos   on jatkuvasti differentioituva. Sardin lauseetta soveltamalla voidaan myös poistaa vaatimus, että  :n determinantti ei saa olla nolla.[5]

Lebesgue-mitallisille funktioille lause voidaan esittää seuraavassa muodossa:[6]

Lause. Olkoon   mitallinen joukko ja   injektiivinen funktio, ja oletetaan lisäksi, että jokaista pistettä   kohti on olemassa sellainen  , että  , kun  . (Tässä o(||y-x||) on Landaun symboli). Silloin   on mitallinen, jokaiselle reaaliarvoiselle funktiolle f, joka on määritelty alueessa  , pätee:

 

siinä mielessä, että jos jompikumpi integraali on olemassa, vaikka olisi ääretönkin, toinenkin on olemassa ja molemmat ovat arvoltaan yhtä suuret.

Toinen hyvin yleinen versio mittateoriassa on seuraava:

Lause. Olkoon X lokaalisti kompakti Hausdorff-avaruus, jossa on määritelty äärellinen Radonin mitta μ, ja olkoon Y sigma-kompakti Hausdorff-avaruus, jossa on määritelty sigma-äärellinen Radonin mitta ρ. Olkoon   jatkuva ja itseisesti jatkuva funktio, toisin sanoen   aina, kun  . Silloin on olemassa sellainen Borel-mitallinen funktio  , että jokaiselle Lebesgue-intergroituvaa funktiota   vastaava yhdistetty funktio (fφ) ⋅ w on Lebesgue-integroituva alueessa X ja

 

Lisäksi on olemassa sellainen joukossa Y määritelty Borel-mitallinen funktio g, että

 .

Geometrisessa mittateoriassa integrointia sijoitus­menetelmällä käytetään Lipschitz-funktioille. Jos Lipschitz-funktio on injektiivinen ja sen käänteisfunktio on myös Lipschitz-funktio, Rademacherin lauseen mukaan funktio on differentoituva melkein kaikkialla. Erityisesti tällaisen funktion Jacobin determinantti   on melkein kaikkialla hyvin määritelty. Tällaisia funktiota koskee seuraava lause:

Lause Olkoon   avoin joukko ja   Lipschitz-funktio, jonka käänteisfunktio on myös Lipschitz-funktio. Olkoon lisäksi   mitallinen. Silloin

 

siinä mielessä, että jos jompikumpi integraaleista on olemassa (tai se on ääretön), silloin toinenkin on olemassa ja molemmat integraalit ovat yhtä suuret.

Tämän lauseen esitti konjektuurina ensimmäisenä Euler vuonna 1769 kehittäessään kaksin­kertaisen integraalin käsitteen. Vaikka sen yleisti kolmin­kertaiselle integraalille Lagrange vuonna 1773 ja yleisesti n muuttujalle Mihail Ostrogradski vuonna 1836 ja vaikka sitä sovelsivat Legendre, Laplace ja Gauss, sen onnistui täsmällisesti todistamaan vasta Élie Cartan 1890-luvulla.[7][8]

Sovellus todennäköisyyslaskentaanMuokkaa

Muuttujanvaihdon avulla voidaan ratkaista seuraava toden­näköisyys­laskennassa tärkeä kysymys: Jos   on satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio   tunnetaan, ja   sen avulla määritelty toinen satunnaismuuttuja, mikä on  :n tiheysfunktio?

Vastauksen saamiseksi kannattaa ensin asettaa kysymys hieman toisin: millä todennäköisyydellä   saa arvon, joka kuuluu tiettyyn osajoukkoon  . Käytetään tälle todennäköisyydelle merkintä  . Jos  :n tiheysfunktio tunnetaan ja se on  , todennäköisyys on tietysti

 .

Yleensä tätä tiheysfunktiota   ei kuitenkaan tunneta, vaan se juuri on määritettävä. Tehtävä voidaan ratkaista tarkastelemalla muuttujaa  . Muuttujan   arvo kuuluu joukkoon  , jos ja vain jos   kuuluu joukkoon  . Niinpä

 

Vaihtamalla muuttuja   muuttujaan   saadaan:

 

Yhdistämällä tämä ja ensimmäinen yhtälö saadaan

 

ja niinpä

 

Mikäli   ja   voidaan esittää useamman keskenään riippumattoman satunnaismuuttujan avulla, toisin sanoen jos   ja  ,   saadaan suorittamalla muuttujanvaihto useammalle muuttujalle. Tulos on

 
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Integration by substitution


LähteetMuokkaa

  • Earl. W. Swokowski: Calculus with analytic geometry (alternate ed.). Prindle, Weber & Schmidt, 1983. ISBN 0-87150-341-7.

ViitteetMuokkaa

  1. a b c Lauri Myrberg: ”Integrointi sijoituksen avulla”, Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1, s. 232–234. Kirjayhtymä, 1977. ISBN 951-26-0936-3.
  2. Yngve Lehtosaari, Jarkko Leino: ”Muutamia tärkeitä integraalifunktioita ja integroimissääntöjä”, Matematiikka 11, s. 167. Kirjayhtymä, 1974. ISBN 951-26-0078-1.
  3. William Briggs, Lyle Cochran: ”Single variables ed.”, Calculus / Early Transcendentals, s. 361. Addison-Wesley, 2011. ISBN 978-0-321-66414-3.
  4. Walter Rudin: ”Theorem 7.26”, Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, 1987. ISBN 978-0-07-054234-1.
  5. Michael Spivak: Calculus on Manifolds, s. 72. Westview Press, 1965. ISBN 978-0-8053-9021-6.
  6. ”Theorem 263D”, Measure Theory, Volume 2. Torres Fremlin, 2010. ISBN 978-0-9538129-7-4.
  7. V. Katz: Change of variables in multiple integrals: Euler to Cartan. Mathematics Magazine, 1982, 55. vsk, nro 1, s. 3–11. doi:10.2307/2689856.
  8. Anthony P. Ferzola: Euler and differentials. The College Mathematics Journal, 1994, 25. vsk, nro 2, s. 102–111. doi:10.2307/2687130.

Katso myösMuokkaa