Avaa päävalikko
Kuusi ensimmäistä kolmiolukua

Kolmioluku on luonnollista lukua oleva määrä pisteitä, jotka pinnalle tasavälein aseteltuna muodostavat tasasivuisen kolmion. Kymmenen ensimmäistä kolmiolukua ovat 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45 ja 55. [1]

Suurempia kolmiolukuja voidaan muodostaa pienemmistä lisäämällä niihin riittävästi pisteitä: Polygonal Number 3.gif

Rekursiivisesti ilmaistuna kolmioluku on [2]

Kuvassa näkyvä punainen lisäys on kreikkalaisittain nimeltään gnomon ja sitä vastaa rekursiivisessa yhtälössä luku

Kolmioluvut ovat yksinkertaisin ryhmä monikulmiolukuja, jotka ovat pisteillä muodostettujen säännöllisten monikulmioiden lukuja. Monikulmioluvut ovat osa kuviolukujen ryhmää.

Formaalinen määritelmäMuokkaa

Kolmioluvut   saadaan aritmeettisena summana, jossa lasketaan   peräkkäistä luonnollista lukua yhteen:

  [3]

Merkintä   tarkoittaa binomikerrointa, jonka arvo on sama kuin  :sta alkiosta muodostettavien parien lukumäärä.

Yhteyksiä matematiikkaanMuokkaa

 
Tetraktys eli pyhä kolmioluku.

Kolmiolukuja esiintyy satunnaisesti jokaisella matematiikan alalla. Alla on kerrottu esimerkkejä eräistä kolmiolukujen ominaisuuksista.

Arjen erikoisuuksiaMuokkaa

Keilat asetetaan kolmioluvun   tapaan tetraktyksen muotoon. [4] Biljardipallot kootaan kolmiokehykseen aloitusasemaan kolmioluvun   tapaan.

Pedon luku on kolmioluku   666. Se on suurin kolmioluku, jonka lukuesityksessä kaikki numerot ovat samat. [3]

Kolmiolukujen ominaisuksiaMuokkaa

 
(Kuvio 1) Kolmioluku saadaan yhdistämällä kolme samaa kolmiolukua ja lisäämällä siihen yhtä pienempi kolmioluku.
 
(Kuvio 2) Kolmioluku saadaan yhdistämällä kolme samaa kolmiolukua ja lisäämällä siihen yhtä suurempi kolmioluku.

Kolmioluvut ovat "sukua toisilleen", joten niillä on rekursiivisia suhteita. Seuraavia kolmiolukujen välisiä ominaisuuksia tunnetaan. [3] Peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden erotus on kuutioluku  .

 

Esimerkiksi, kun n = 3, saadaan  

Peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden summa on kulmioluku.

 

Kun esimerkiksi n = 3, saadaan  

Seuraavat kolmiolukujen identiteetit on helppo ymmärtää oheisista piirroksista. Menetelmä on yksinkertainen ja antaa olettaa, että muitakin kolmiolukuja voidaan muodostaa yhdistelemällä eri suuruisia kolmioita suuremmiksi kolmioiksi.

  (kuvio 1)
  (kuvio 2)

Kun lasketaan yhteen peräkkäiset parittomat luvut, saadaan kahden peräkkäisen kolmioluvun summa.

 

Summa on arvoltaan myös neliöluku, kuten jäljempänä todetaan.

Kytkentä muihin kuviolukuihinMuokkaa

Kolmioluvuilla on myös kytkentöjä muihin kuviolukuihin. Kahden peräkkäisen kolmioluvun summa on aina neliöluku  :

 

Tämä voidaan havaita suoraan pistekuvioista, joista on alla kaksi esimerkkiä.

   
   

Neliölukuja voi muodostaa useammastakin kolmioluvusta.

   

eli tässä kuvan mukaisessa tapauksessa

  [3]

Toinen vastaava esimerkki on

  [3]

Jos lasketaan yhteen pariton määtä kolmiolukuja seuraavasti

 

saadaan tulokseksi neliöluku. [3]

Joka toinen kolmioluku on kuusikulmioluku  :   [3]

Jokainen viisikulmioluku   on kolmasosa kolmioluvusta:   [3]

Jos   on seitsenkulmioluku, saadaan lausekkeen arvoksi  , joka on kolmioluku  .

Peräkkäisten kuutiolukujen summa on kolmioluvun neliö:

  [3]

Peräkkäisten parittomien kuutiolukujen summa antaa kolmioluvun:

  [3]

Yhteyksiä muuhun matematiikkaanMuokkaa

Friedrich Gauss on todistanut oikeaksi Pierre de Fermat'n monikulmiolukujen teoreeman, jonka mukaan kaikki luonnolliset luvut voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun summana. [3]

Kaikki luvun   jakajat ovat muotoa   ja samoin on laita lukujen  , jotka ovat kaikki muotoa  . Muotoa   olevilla luvuilla on jakajina luvut   ja   eli niiden lukuesitys päättyy numeroon 1 tai 9. [3]

Parilliset täydelliset luvut P ovat kolmiolukuja  , jossa p on alkuluku. Kaikki   ovat muotoa   missä   on kolmiluku indeksillä, joka on muotoa   [3]

Kombinatoriikassa  -henkisen ryhmän parinmuodostus voidaan tehdä   monella tavalla. Lukumäärä on sama kuin kolmioluku   [3]

Kolmiolukuja   voidaan pitää additiivisena vastineena lukujen kertomalle, jossa on vastaavasti   [3]

Kolmioluvut ilmaantuvat seuraavaan määrättyyn integraaliin:

  [3]

HistoriaaMuokkaa

Muun muassa pythagoralaiset 500 eaa. tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut olivat keskeinen osa kuviolukujen oppirakennelmaa ja liittyi ilmeisesti oleellisella tavalla numerologiaan. Heidän lukuteoriansa piti pyhän tetraktyksen   kolmioranennetta samassa arvossa kuin säännöllistä geometrista viisikulmiota eli pentagrammia. Etuoikeutettujen lukujen luokkia oli runsaasti. Filolaos totesi, että kaikkiin asioihin voidaan liittää luku ja että mitään ei voida kuvitella tai tietää ilman lukua. [5]

Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa käsitellen muun muassa täydellisiä lukuja, kuviolukuja ja alkulukuja. Hänen todistusmenetelmänsä avasivat lukujen maailman tehokkaasti ja samalla tuli perustettua lukuteoria. [6]

Gottfried Wilhelm Leibniz laski kolmiolukujen käänteislukujen sarjan arvon. Kun summassa oli n termiä, tuli summaksi   ja kun termejä oli äärettömästi tuli sarjan arvoksi 2.[7]

Friedrich Gauss todisti vuonna 1796, että jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun avulla. Augustin-Louis Cauchy todisti saman yleisellä tasolla, jolloin jokainen luonnollinen luku voidaan esittää n:n n-kulmioluvun summana. [8]

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  • Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia osa I ja II. Suomentanut Pietiläinen, Kimmo. Juva: Art House, 1994. ISBN 951-884-159-4.

ViitteetMuokkaa

  1. OEIS: Trangular number
  2. Weisstein, Eric W.: Polygonal Number (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b c d e f g h i j k l m n o p Weisstein, Eric W.: Triangular Number (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. Weisstein, Eric W.: Tetractys (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 93 – 95
  6. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 498 – 501
  7. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 562 – 566
  8. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, ss. 726