Täydellinen luku on luonnollinen luku, joka on itseään pienempien tekijöidensä summa. Viisi ensimmäistä täydellistä lukua ovat 6, 28, 496, 8 128 ja 33 550 336.[1] Esimerkiksi 1 + 2 + 3 = 6 ja 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Positiiviset kokonaisluvut, jotka eivät ole täydellisiä, ovat joko runsaita tai vajaita.

Täydellisen luvun 6 tekijöiden ominaisuuksista geometrisesti.

Laskenta

muokkaa

Muinaiset kreikkalaiset tunsivat vain neljä pienintä täydellistä lukua. Eukleides kirjoitti noin 300 eaa. kirjassaan Elementa, että ne saadaan kaavalla

 .

Eukleideen tuntemat täydelliset luvut ovat:

  • n = 2:  
  • n = 3:  
  • n = 5:  
  • n = 7:  . [2]

Eukleides osoitti, että   on täydellinen luku aina, kun   on Mersennen alkuluku. Vasta vuonna 1747 Leonhard Euler todisti, että kaavalla voidaan tuottaa kaikki parilliset täydelliset luvut[3]. Ei kuitenkaan tiedetä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja.[2] Tiedetään kuitenkin, että parittoman täydellisen luvun täytyy olla suurempi kuin  [4] ja sillä täytyy olla vähintään 8 alkulukutekijää, mikäli se on olemassa. Jos luku ei ole kolmella jaollinen, alkulukutekijöitä on vähintään 11. Mersennen alkulukuja ja siten myös täydellisiä lukuja etsitään GIMPS-projektin avulla.

Ominaisuuksia

muokkaa

Täydellisillä luvuilla on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Tekijöiden käänteislukujen summa

muokkaa

Täydellisen luvun kaikkien tekijöiden käänteislukujen summa on kaksi,

 .

Esimerkiksi, kun luku on 6, on sillä tekijät   ja niiden käänteislukujen summa on

 .

Jokainen (parillinen) täydellinen luku on myös kolmioluku.

Katso myös

muokkaa

Lähteet

muokkaa
  • Barrow John D.: Lukujen taivas. Suomentanut Vilikko, Risto. Smedjebacken, Ruotsi: Art House, 1999. ISBN 951-884-231-0
  • Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osat I–II. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0, ISBN 951-884-158-6

Viitteet

muokkaa
  1. A000396 OEIS-tietokannassa
  2. a b Boyer, s. 177
  3. Boyer, s. 643
  4. Odd perfect numbers are greater than 101500 – Mathematics of Computation (englanniksi)