Täydellinen luku

Täydellinen luku on luonnollinen luku, joka on itseään pienempien tekijöidensä summa. Täydellisiä lukuja ovat esimerkiksi 6 ja 28, koska 1 + 2 + 3 = 6 ja 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Positiiviset kokonaisluvut, jotka eivät ole täydellisiä, ovat joko runsaita tai vajaita.

LaskentaMuokkaa

Muinaiset kreikkalaiset tunsivat vain neljä pienintä täydellistä lukua. Eukleides kirjoitti noin 300 eaa. kirjassaan Elementa, että ne saadaan kaavalla

 .

Eukleideen tuntemat täydelliset luvut ovat:

  • n = 2:  
  • n = 3:  
  • n = 5:  
  • n = 7:  . [1]

Eukleides osoitti, että   on täydellinen luku aina, kun   on Mersennen alkuluku. Vasta vuonna 1747 Leonhard Euler todisti, että kaavalla voidaan tuottaa kaikki parilliset täydelliset luvut[2]. Ei kuitenkaan tiedetä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja.[1] Tiedetään kuitenkin, että parittoman täydellisen luvun täytyy olla suurempi kuin   ja sillä täytyy olla vähintään 8 alkulukutekijää, mikäli se on olemassa. Jos luku ei ole kolmella jaollinen, alkulukutekijöitä on vähintään 11. Mersennen alkulukuja ja siten myös täydellisiä lukuja etsitään GIMPS-projektin avulla.

OminaisuuksiaMuokkaa

Täydellisillä luvuilla on useita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

Tekijöiden käänteislukujen summaMuokkaa

Täydellisen luvun kaikkien tekijöiden käänteislukujen summa on kaksi,

 .

Esimerkiksi, kun luku on 6, on sillä tekijät   ja niiden käänteislukujen summa on

 .

Jokainen (parillinen) täydellinen luku on myös kolmioluku.

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  • Barrow John D.: Lukujen taivas. Suomentanut Vilikko, Risto. Smedjebacken, Ruotsi: Art House, 1999. ISBN 951-884-231-0.
  • Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osat I–II. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0, ISBN 951-884-158-6.

ViitteetMuokkaa

  1. a b Boyer, s. 177
  2. Boyer, s. 643
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.