Monikulmioluku

Monikulmioluku on mikä tahansa luonnollinen luku, jota vastaava määrä pisteitä voidaan asetella tasavälein pinnalle niin, että ne muodostavat säännöllisen monikulmion[1]. Monikulmioluvut ovat eräs kuviolukujen ryhmä: niissä pisteitä asetellaan tasolle.

JohdantoMuokkaa

Esimerkiksi luku 10 on kolmioluku, sillä 10 kiveä voidaan asettaa tasasivuiseksi kolmioksi.

 
  
   
    

Sama luku 10 ei voi olla neliöluku, mutta luku 9 sitä vastoin voi olla.

   
   
   

Joskus sama luku voi olla sekä kolmio- että neliöluku. Pienin tällainen luku on 36.

      
      
      
      
      
      
 
  
   
    
     
      
       
        

Muita monikulmiolukuja ovat muun muassa kolmioluvut, neliöluvut, viisikulmioluvut ja kuusikulmioluvut.

Säännönmukaisia piirteitäMuokkaa

Ensimmäinen n-monikulmioluku on aina 1 ja seuraava n.[2]

LausekkeitaMuokkaa

Lauseke   antaa monikulmioluvun arvon, kun   on munikulmion sivujen lukumäärä ja   lukujonon jäsenen indeksi:

  [3][4]

Seuraava lauseke lausuu  :nnen monikulmioluvun kolmiolukujen avulla:

  [3]

Monikulmiolukujonon kahden peräkkäisen luvun erotuksen lauseke on

 

Kahden monikulmioluvun, joiden sivujen lukumäärä eroaa vain yhdellä, saman jäsenen   arvot eroavat kolmioluvun verran:

 

Jos tiedetään monikulmioluvun   sivujen lukumäärän  , voidaan laskea sen indeksi   lausekkeesta

  [3]

LukuarvojaMuokkaa

Alle on koottu ensimmäisten monikulmiolukujen tietoja. Sarakkeessa "Jonon jäsenten lauseke" annetaan sijoitetussa muodossa lauseke, jolla voidaan laskea monikulmioluvun indeksillä   annetun jäsenen arvo. Sen perässä on luettelo kymmenestä ensimmäisestä monikulmioluvusta. Joistakin monikulmioluvuista tunnetaan niiden käänteislukujen sarjan arvo. Gottfried Wilhelm Leibniz ratkaisi ensimmäisenä kolmiolukujen sarjan arvon[5]. Viimeisessä sarakkeessa on linkki kokonaislukujen jonojen sivustolle (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).

s Nimi Jonon   jäsenen lauseke n=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Käänteislukujen summa[4] OEIS-numero
3 Kolmioluku ½(1n² + 1n) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55   A000217
4 Neliöluku ½(2n² - 0n) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100   A000290
5 Viisikulmioluku ½(3n² - 1n) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145   A000326
6 Kuusikulmioluku ½(4n² - 2n) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190   A000384
7 Seitsenkulmioluku ½(5n² - 3n) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235   A000566
8 Kahdeksankulmioluku ½(6n² - 4n) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280   A000567
9 Yhdeksänkulmioluku ½(7n² - 5n) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 A001106
10 Kymmenkulmioluku ½(8n² - 6n) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370   A001107
11 Yksitoistakulmioluku ½(9n² - 7n) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 A051682
12 Kaksitoistakulmioluku ½(10n² - 8n) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 A051624
13 Kolmetoistakulmioluku ½(11n² - 9n) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 A051865
14 Neljätoistakulmioluku ½(12n² - 10n) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550   A051866
15 Viisitoistakulmioluku ½(13n² - 11n) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 A051867
16 Kuusitoistakulmioluku ½(14n² - 12n) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 A051868
17 Seitsemäntoistakulmioluku ½(15n² - 13n) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 A051869
18 Kahdeksantoistakulmioluku ½(16n² - 14n) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 A051870
19 Yhdeksäntoistakulmioluku ½(17n² - 15n) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 A051871
20 Kaksikymmentäkulmioluku ½(18n² - 16n) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 A051872
21 Kaksikymmentäyksikulmioluku ½(19n² - 17n) 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 A051873
22 Kaksikymmentäkaksikulmioluku ½(20n² - 18n) 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 A051874
23 Kaksikymmentäkolmekulmioluku ½(21n² - 19n) 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 A051875
24 Kaksikymmentäneljäkulmioluku ½(22n² - 20n) 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 A051876

Yhteisiä lukujaMuokkaa

Jotkin monikulmioluvut, kuten yllä oleva esimerkki 36, joka kuuluu kolmio- ja neliölukuihin, kuuluvat kahteen ryhmään saman aikaisesti. Pellin yhtälöllä on mahdollista selvittää kahden ryhmän yhteiset luvut.

Seuraavassa taulukossa on luetteloitu joidenkin monikulmiolukujen yhteiset luvut. Luku   esittävät lukujen kulmien määrää. Joissakin tapauksissa ainoa yhteinen jäsen on ensimmäinen luku 1. Näin on esimerkiksi, kun  .

s t Jono OEIS-numero
4 3 1, 36, 1225, 41616, … A001110
5 3 1, 210, 40755, 7906276, … A014979
5 4 1, 9801, 94109401, … A036353
6 3 Jokainen kuusikulmioluku on myös kolmioluku. A000384
6 4 1, 1225, 1413721, 1631432881, … A046177
6 5 1, 40755, 1533776805, … A046180
7 3 1, 55, 121771, 5720653, … A046194
7 4 1, 81, 5929, 2307361, … A036354
7 5 1, 4347, 16701685, 64167869935, … A048900
7 6 1, 121771, 12625478965, … A048903
8 3 1, 21, 11781, 203841, … A046183
8 4 1, 225, 43681, 8473921, … A036428
8 5 1, 176, 1575425, 234631320, … A046189
8 6 1, 11781, 113123361, … A046192
8 7 1, 297045, 69010153345, … A048906
9 3 1, 325, 82621, 20985481, … A048909
9 4 1, 9, 1089, 8281, 978121, … A036411
9 5 1, 651, 180868051, … A048915
9 6 1, 325, 5330229625, … A048918
9 7 1, 26884, 542041975, … A048921
9 8 1, 631125, 286703855361, … A048924

HistoriaaMuokkaa

Muun muassa pythagoralaiset tutkivat noin 500 eaa. lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut olivat keskeinen osa kuviolukujen oppirakennelmaa ja liittyi ilmeisesti oleellisella tavalla numerologiaan. Heidän lukuteoriansa piti pyhän tetraktyksen   kolmiorakennetta samassa arvossa kuin säännöllistä geometrista viisikulmiota eli pentagrammia. Etuoikeutettujen lukujen luokkia oli runsaasti. Filolaos totesi, että kaikkiin asioihin voidaan liittää luku ja että mitään ei voida kuvitella tai tietää ilman lukua.[6]

Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa käsitellen muun muassa täydellisiä lukuja, kuviolukuja ja alkulukuja. Hänen todistusmenetelmät avasivat lukujen maailman tehokkaasti ja samalla hän perusti lukuteorian. Hän ehdotti haasteena muille, että jokainen luonnollinen luku voidaan esittää korkeintaan k:lla k-kulmioluvulla (Fermat’n monikulmiolause). Hän myös väitti todistaneensa väitteensä, mutta todistusta ei ole löydetty hänen paperiensa joukosta. Carl Gustav Jacob Jacobi ja Joseph-Louis Lagrange (Lagrangen neljän neliön lause, vuonna 1772) sekä Leonhard Euler ovat todistaneet sen neliölukujen tapauksessa ja Carl Friedrich Gauss kolmiolukujen tapauksessa vuonna 1796. Vasta Augustin-Louis Cauchy todisti sen yleisessä tapauksessa vuonna 1813.[7][3][8]

LähteetMuokkaa

  • Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osat I–II. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0, ISBN 951-884-158-6.
  • Lehtinen, Matti: Matematiikan historia (pdf) (Oulun yliopiston luento) 2011. Oulu: Oulun Yliopisto.

ViitteetMuokkaa

  1. Weisstein, Eric W.: Figurate Number (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. Lehtinen 2011, s. 19.
  3. a b c d Weisstein, Eric W.: Polygonal Number (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. a b Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers
  5. Boyer, s. 562–566.
  6. Boyer, s. 93–95.
  7. Boyer, s. 498–501.
  8. Boyer, s. 726.

Aiheesta muuallaMuokkaa