Tähtiluku

Tähtiluku on kuvioluku, joka esittää heksagrammia eli kuusikulmaista tähtimäistä kuviota, jollainen on esimerkiksi kiinanšakin eli tähtihalman pelilauta.

Kiinanšakin eli tähtihalman pelilaudassa on 121 reikää.

1		13		37

Voidaan osoittaa, että n:s tähtiluku voidaan laskea kaavalla S_n = 6n(n − 1) + 1. Ensimmäiset 43 tähtilukua ovat:

1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, 937, 1093, 1261, 1441, 1633, 1837, 2053, 2281, 2521, 2773, 3037, 3313, 3601, 3901, 4213, 4537, 4873, 5221, 5581, 5953, 6337, 6733, 7141, 7561, 7993, 8437, 8893, 9361, 9841, 10333, 10837. (A003154 OEIS:ssä).

Kun tähtiluku jaetaan 9:llä, jakojäännökseksi jää aina 1 tai 4. Näihin lukuihin päädytään myös laskettaessa kymmenjärjestelmässä tähtiluvun numerot yhteen ja saadun summan numerot edelleen yhteen ja jatkamalla samaan tapaan, kunnes päädytään yksinumeroiseen lukuun. Peräkkäisillä tähtiluvuilla nämä jakojäännökset 1 ja 4 vuorottelevat. Tähtilukujen kaksi viimeistä numeroa ovat aina 01, 13, 21, 33, 37, 41, 53, 61, 73, 81 tai 93.

Luku 35113 on sikäli ainutlaatuinen tähtiluku, että sen alkutekijät, 13, 37 ja 73, ovat myös kolme peräkkäistä tähtilukua.

Yhteydet muihin kuviolukuihin

Geometrisesti n:ttä tähtilukua vastaava kuvio muodostuu keskipisteestä sekä 12 kolmiosta, jotka vastaavat (n-1):ttä kolmiolukua. Täten n:s tähtiluku on sama kuin n:s keskitetty 12-kulmioluku, vaikka lukua vastaavat pisteet on järjestetty eri tavalla.

On äärettömän monta sellaista tähtilukua, jotka ovat samalla kolmiolukuja. Neljä pienintä sellaista ovat:

• S₁ = 1 = T₁,
• S₇ = 253 = T₂₂,
• S₉₁ = 49141 = T₃₁₃ ja
• S₁₂₆₁ = 9533161 = T₄₃₆₆

(A156712 OEIS:ssä).

On myös äärettömän monta sellaista tähtilukua, jotka ovat samalla neliölukuja. Neljä pienintä sellaista ovat:

• S₁ = 1²,
• S₅ = 121 = 11²,
• S₄₅ = 11881 = 109², ja
• S₄₄₁ = 1164241 = 1079²

(A054318 OEIS:ssä).

Tähtialkuluvut ovat tähtilukuja, jotka ovat samalla alkulukuja. Pienimmät sellaiset ovat: 13, 37, 73, 181, 337, 433, 541, 661, 937. (A083577 OEIS:ssä).

Katso myös

• Keskitetty kuusikulmioluku

Aiheesta muualla

• Star Number Wolfram MathWorld.