Poissonin jakauma (tai Poisson-jakauma) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, joka ilmaisee todennäköisyydet tapahtumien lukumäärälle kiinteällä aikavälillä, kun tapahtumien todennäköisyys on ajassa vakio ja riippumaton edellisestä tapahtumasta. Poissonin jakauman tuottavaa stokastista prosessia kutsutaan Poisson-prosessiksi.
Poissonin jakauma
Todennäköisyysfunktio
Vaaka-akselilla on indeksi k eli tapahtumien lukumäärä. Todennäköisyysfunktio on määritelty vain indeksin k kokonaislukuarvoilla. Hahmottamisen helpottamiseksi pisteet on yhdistetty viivoilla
|
Kertymäfunktio
Vaaka-akselilla on indeksi k eli tapahtumien lukumäärä. Kertymäfunktio on epäjatkuva kokonaisluvuilla k ja muualla vaakasuora, koska Poisson-jakautunut muuttuja saa vain kokonaislukuarvoja.
|
Merkintä
|
|
Parametrit
|
λ > 0 (reaalinen)
|
Määrittelyjoukko
|
k ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
|
Pistetodennäköisyysfunktio
|
|
Kertymäfunktio
|
--tai--
(kun missä on epätäydellinen gammafunktio ja on lattiafunktio)
|
Odotusarvo
|
|
Mediaani
|
|
Moodi
|
|
Varianssi
|
|
Vinous
|
|
Huipukkuus
|
|
Entropia
|
(kun on suuri)
|
Momentit generoiva funktio
|
|
Karakteristinen funktio
|
|
Todennäköisyydet generoiva funktio
|
|
Jakauma on peräisin ranskalaiselta matemaattisen fysiikan tutkijalta Siméon Denis Poissonilta (1781-1840). Tutkiessaan todennäköisyyslaskennassa toistokoetta hän päätyi jakaumaansa antamalla toistojen määrän kasvaa rajatta ja kytkemällä tarkasteltavan tapauksen todennäköisyyden yksittäisessä toistossa toistojen määrään siten, että määrän ja todennäköisyyden tulo pysyivät koko ajan vakiona. Jakaumaa nimitetään usein myös Poissonin suurten lukujen laiksi.
Poissonin jakauma on diskreetti, ja sen arvojoukko on luonnollisten lukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja on Poisson-jakautunut, merkitään
.
Parametri on Poisson-prosessin intensiteetti. Pistetodennäköisyysfunktio on
Kertymäfunktiota ei voi yleisessä tapauksessa esittää suljetussa muodossa. Odotusarvo ja varianssi ovat
ja
Jos ja sekä ja ovat riippumattomia, niin .
Poissonin jakauman yhteydet binomijakaumaan ja negatiiviseen binomijakaumaan:
jos kun , niin
jakaumaltaan.
jos kun , niin
jakaumaltaan.
Painotettu Poissonin jakauma on Poissonin jakauma, jonka parametri on satunnaismuuttuja. Parametrin voi tulkita esimerkiksi kuvaavan sään vaihteluita, jos Poisson-jakautunut satunnaismuuttuja kuvaa päivässä tapahtuvia liikennevahinkoja.
Oletetaan, että satunnaismuuttuja toteuttaa ehdot ja ja . Satunnaismuuttujaa kutsutaan tällöin struktuurimuuttujaksi. Odotusarvo ja varianssi ovat
ja
Diskreettejä jakaumia
|
|
Jatkuvia jakaumia
|
|
Moniulotteisia jakaumia
|
|