Lattia- ja kattofunktio

(Ohjattu sivulta Lattiafunktio)
Lattiafunktio
Kattofunktio

Lattia- ja kattofunktio ovat kaksi matematiikassa ja tietojenkäsittelytieteessä käytettävää funktiota, jotka muuntavat mielivaltaisen reaaliluvun kokonaisluvuksi.[1]

Nimet "katto" (ceiling) ja "lattia" (floor) sekä vakiintuneet merkintätavat esitti ensimmäisenä Kenneth E. Iverson vuonna 1962. [2]

LattiafunktioMuokkaa

Lattiafunktio reaaliluvusta x, joka merkitään   tai floor(x), palauttaa suurimman kokonaisluvun, joka on pienempi tai yhtäsuuri kuin x. Siis kaikille reaaliluvuille x pätee:

 

Esimerkiksi floor(2.9) = 2, floor(−2) = −2 ja floor(−2.3) = −3.

Positiivisilla luvuilla x funktiota floor(x) voidaan kutsua myös x:n kokonaislukuosaksi. Funktio   (myös x mod 1) on x:n desimaaliosa.

KattofunktioMuokkaa

Kattofunktio, jota merkitään   tai ceil(x), palauttaa pienimmän kokonaisluvun, joka on suurempi tai yhtäsuuri kuin x. Siis kaikille reaaliluvuille x pätee:

 

Esimerkiksi ceil(2,3) = 3, ceil(2) = 2 ja ceil(−2.3) = −2.

Lattiafunktion ominaisuuksiaMuokkaa

  • Seuraava epäyhtälö on aina voimassa reaaliluvulle x :
 
  • Kun x ja n ovat positiivisia lukuja,
 
  • Lattiafunktio on idempotentti:  .
  • Mille tahansa kokonaisluvulle k ja reaaliluvulle x,
 
  • Luvun x perinteinen pyöristäminen voidaan ilmaista tavalla: floor(x + 0,5)
  • Lattiafunktio ei ole jatkuva, vaan puolijatkuva funktio. Vakiofunktiona sen derivaatta on nolla jokaisessa pisteessä jotka eivät ole kokonaislukuja.
  • Jos x on reaaliluku ja n on kokonaisluku, pätee nx jos ja vain jos n ≤ floor(x).
  • Reaalilukujen x, jotka eivät ole kokonaislukuja, lattiafunktio voidaan esittää Fourier-esityksenä:
 
 
  • Jokaisen positiivisen kokonaisluvun k numeroiden määrä määritellään
 

Kattofunktion ominaisuuksiaMuokkaa

  • Voidaan näyttää, että
 
sekä
 
  • Jokaiselle kokonaisluvulle k pätee
 

LähteetMuokkaa

  1. Ronald Graham, Donald Knuth ja Oren Patashnik. "Concrete Mathematics". Addison-Wesley, 1999. Chapter 3, "Integer Functions".
  2. Kenneth E. Iverson. "A Programming Language". Wiley, 1962.