Matemaattinen merkintä
Tämän artikkelin tai sen osan muoto tai tyyli kaipaa korjausta. Voit auttaa Wikipediaa parantamalla artikkelia. Lisää tietoa saattaa olla keskustelusivulla. |
Katso myös: Luettelo matemaattisista merkeistä, Kreikkalainen kirjaimisto
Matemaattinen merkintä eli matemaattinen notaatio on tapa ilmaista matemaattisia objekteja ja käsitteitä symboleilla.[1] Sitä käytetään ainakin matematiikassa, luonnontieteissä ja kirjanpidossa.
Määritelmä
muokkaaMatemaattinen merkintä on kirjoitusjärjestelmä (oikeastaan formaali kieli), jota käytetään tallentamaan matemaattisia käsitteitä. Merkintä käyttää symboleita tai symbolien yhdistelmiä, joille on niitä kehitettäessä pyritty asettamaan mahdollisimman täsmällinen ja käytännöllinen merkitys.
Matemaattisen merkinnän historia
muokkaaUskotaan, että jonkinlainen matemaattinen merkintä kehittyi ensimmäisen kerran vähintään 50 tuhatta vuotta sitten esineiden laskemisen auttamiseen. Todennäköisesti vanhimmat laskemiseen liittyvät säilyneet tekstit ovat peräisin sumereilta.
Geometriaan liittyvä merkistö kehittyi yhtenäiseksi vasta 1600-luvulla analyyttisen geometrian myötä.
Lopullisesti matemaattinen merkintä asettui nykyiseen standardoituun muotoonsa vasta 1700- ja 1800-luvulla.
Matemaattiset merkit
muokkaaReaali- ja kompleksiluvut
muokkaaSymboli | Vaihtoehto | Tarkoittaa | Esimerkki |
= | Yhtä suuri. Yhdistää kaksi lauseketta samanarvoisiksi. | 2+5+9 = 16 | |
≠ | Erisuuri. Ilmoittaa, että merkki tai numero on erisuuri kuin toinen. | X ≠ 6 tai 5 ≠ 6 | |
< ja > | Pienempi kuin ja suurempi kuin. Terävän pään osoittama luku on pienempi. | 3<7 ja 7>3 tai X>3 ja 3<X |
Aritmetiikka
muokkaaPeruslaskutoimitukset
muokkaaSymboli | Luetaan | Tarkoittaa | Esimerkki |
+ | "2+2" Kaksi plus kaksi | Yhteenlasku – Muodostaa kahden luvun summan. | 2+5+9=16 |
- | "2−2" Kaksi miinus kaksi | Vähennyslasku – Muodostaa kahden luvun erotuksen. | 2-2=0 |
* | "3*4" Kolme kertaa neljä | Kertolasku – muodostaa kahden luvun tulon. Lyhenne toistuvalle yhteenlaskulle. | 3*4=3+3+3+3=4+4+4=12 |
/ | "2/5" Kaksi jaettuna viidellä | Jakolasku – muodostaa kahden luvun osamäärän. Nollalla ei voi jakaa. Jakolaskulle on paljon vaihtoehtoisia merkintöjä. | 2/5=0,4 |
Potenssit ja juuret
muokkaaSymboli | Tarkoittaa | Luetaan |
Potenssilasku - Suurempaa merkkiä kutsutaan kantaluvuksi ja sen yläindeksiä eksponentiksi. Merkintä tarkoittaa, että kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti määrää. | x y:änteen tai x potenssiin y | |
Juuri - Esimerkiksi merkintä tarkoittaa lukua X, joka korotettuna toiseen potenssiin on neljä. Yleensä tämä tosin merkitään , eli numeroa kaksi ei merkitä (kaikki muut luvut merkitään). | x:s juuri y:stä |
Muut
muokkaaSymboli | Selitys |
− | Negatiivinen etumerkki |
... ... | Jaollisuuden merkintä - Merkintä tarkoittaa, että oikealla puolen pystyviivaa oleva luku on jaollinen vasemmalla puolella olevalla, |
Summan merkintä (iso kreikkalainen sigma-kirjain) - Esimerkiksi Käytännössä lasketaan kaikki X:t :n ja :n väliltä. Pientä i-kirjainta kutsutaan summausindeksiksi. | |
Tulon merkintä (iso kreikkalainen pii-kirjain) - Esimerkiksi . Käytännössä kerrotaan keskenään kaikki a:t välillä |
Geometria
muokkaaSymboli | Tarkoittaa |
... ... | Suorat ... ja ... ovat samansuuntaiset |
...° | "°"-merkki ilmoittaa kulman suuruutta, astemäärää. |
π | "π" - Pii. Pii on luku, joka on yhtä suuri kuin ympyrän halkaisijan suhde kehään euklidisessa geometriassa. π≈3,14 |
Kulman merkki. Esimerkiksi kulma, jonka oikea sivu A ja vasen sivu B leikkaavat pisteessä C, on nimeltään ACB. | |
Suoran kulman merkki. | |
Joukko-oppi
muokkaaSymboli | Miten luetaan | Määritelmä |
{a, b, c} | Joukko (, jonka alkiot ovat) a, b, c | |
Alkioiden tulee täyttää molemmat pystyviivan eri puolilla olevat ehdot. | ||
... = ... | ... on sama kuin ... | Osoittaa, että merkin eri puolilla olevat joukot sisältävät samat alkiot. |
... ≠ ... | ... on eri kuin ... | Osoittaa, että merkin eri puolilla olevat joukot eivät ole samat. |
|
"alkio a kuuluu joukkoon A" "alkio a ei kuulu joukkoon A" |
|
|
"joukko B on joukon A osajoukko", ts. "jokainen B:n alkio on myös A:n alkio". Joskus merkitään . "joukko B on joukon A (aito) osajoukko", ts. "jokainen B:n alkio on myös A:n alkio (mutta B ≠ A)". |
, kun kaikilla pätee , ts. |
Looginen ja | ||
Looginen tai | ||
"A unioni B", "Joukkojen A ja B yhdiste" | = = {Joukkojen A ja B kaikkien alkioiden joukko} (Tässä E on niin sanottu perusjoukko.) | |
"A leikkaus B" | = = {Joukkojen A ja B yhteiset alkiot} | |
\ | A \ B "A miinus B". Merkitään joskus myös merkillä "-". | A \ B = = {Kaikki ne alkiot, jotka kuuluvat joukkoon A mutta eivät kuulu joukkoon B (ks. joukkoerotus)} |
= {Kaikkien niiden alkioiden joukko, jotka kuuluvat joko joukkoon A tai joukkoon B, mutta eivät kuulu molempiin.} | ||
Ac | Ac "A:n komplementti" | Ac = = {Kaikki ne alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon A} |
"A:n potenssijoukko" | = {Kaikki A:n osajoukot} | |
X:n kardinaali | X:n sisältämien alkioiden lukumäärä |
Lukujoukot
muokkaaSymboli | Tarkoittaa | Esimerkiksi |
Luonnollisten lukujen joukko | 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... | |
Kokonaislukujen joukko | ... -2, -1, 0, 1, 2 ... | |
Rationaalilukujen joukko. Reaaliluvut, jotka voidaan ilmoittaa murtolaskuna | ||
Reaalilukujen joukko, kaikki luvut | π, e ja 100 | |
Kompleksilukujen joukko, reaalilukujen laajennus |
<<
muokkaaMerkintää "<<" tai ">>" käytetään merkitsemään lauseke paljon suuremmaksi kuin toinen lauseke. Tämä on epämääräinen määritelmä, ja yleensä käytetäänkin merkkejä "<" ja ">", ellei ole välttämätöntä korostaa, että lauseke on "paljon" suurempi kuin toinen. Merkinnän terävä pää osoittaa aina pienempää ja avonainen suurempaa suuretta päin. Esimerkiksi 0,1<<1000.
Merkintää käytetään reaalianalyysissä merkitsemään mittojen absoluuttista jatkuvuutta.
≤ tai ≥
muokkaaPienempi/suurempi tai yhtä suuri kuin -merkki on reaalilukujen kaksipaikkainen relaatio, jota käytetään reaalilukujen vertailuun. Se on muuten kuin suurempi kuin -relaatio, mutta se on myös järjestysrelaatio.
Esimerkki käytöstä: , koska (N_0).
Formaali määritelmä:
Olkoon relaatio joukossa , toisin sanoen .
Määritellään relaatio seuraavasti.
: .
Siis sanallisesti: Luku m on suurempi tai yhtä suuri kuin n, jos ja vain jos erotus m - n kuuluu positiivisten kokonaislukujen joukkoon.
Määritelmä voidaan siirtää suoraan reaaliluvuille, mutta ei esimerkiksi kompleksiluvuille.
+
muokkaaYhteenlaskumerkki (sekä erillinen unioni (engl. disjoint union) (?) -merkki)
−
muokkaaVähennyslaskumerkki, negatiivinen etumerkki, joukkoerotusmerkki
×
muokkaaKertomerkki sekä karteesinen tulo -merkki; (engl. cross product)
·
muokkaa÷ tai /
muokkaaJakomerkki sekä murtomerkki
±
muokkaa√
muokkaa|x|
muokkaaItseisarvon merkintä sekä Euklidisen etäisyyden merkintä
a|b
muokkaaJaollisuuden merkintä
a!
muokkaaKertoman merkintä
T
muokkaaTranspoosin merkintä.
Lineaarialgebrassa matriisin transpoosi on matriisi, joka saadaan kun alkuperäisen matriisin rivit muutetaan sarakkeiksi ja päinvastoin.
Esimerkiksi:
~
muokkaaTodennäköisyyden jakauman merkintä
¬
muokkaaNegaatio. Etenkin logiikassa käytetty symboli, joka kuvaa, että jonkin tapahtuma ei tapahdu. Esim. Jos A : "Sataa", niin ¬A : "Ei sada".
≡
muokkaaKongruenssin merkintä. Kun a ≡ b (mod n), niin luku a on kongruentti luvun b kanssa modulo n. Luvut a ja b ovat kongruentit modulo n, jos ja vain jos lukujen a ja b erotus, a - b, on jaollinen luvulla n. Esim. 16 ≡ 1 (mod 5), sillä 16 - 1 = 15 ja 15 ÷ 5 = 3.
{a,b}
muokkaaJoukon sisältämien alkioiden merkintä
{|}
muokkaaAlkioehto (?) (engl. set-builder notation)
{}
muokkaaTyhjän joukon merkintä
U
muokkaaUnionin merkintä
∩
muokkaaLeikkauksen merkintä
Δ
muokkaaKreikkalainen aakkonen: delta. Luonnontieteissä deltalla kuvataan yleensä jonkin suureen muutosta. Esimerkiksi Δt kuvaa ajan muutosta.
- tai \
muokkaaJoukkoerotuksen merkintä
( )
muokkaaSulkumerkit
f(X→Y)
muokkaaFunktionuoli (?) (engl. function arrow)
f on kuvaus joukosta X joukkoon Y.
o
muokkaaYhdistetyn funktion merkintä
N
muokkaaLuonnollisten lukujen merkintä
Z
muokkaaKokonaislukujen merkintä
Q
muokkaaRationaalilukujen merkintä
R
muokkaaReaalilukujen merkintä
C
muokkaaKompleksilukujen merkintä
K
muokkaaReaali- tai kompleksiluvun merkintä
∞
muokkaaÄärettömyyden merkintä
||…||
muokkaa(engl. norm) (Pituus origosta)
∑
muokkaaLukujonon summan merkintä tai yleisesti vain summan merkintä.
∏
muokkaaLukujonon karteesisen tulon merkintä
′ (derivaatta)
muokkaaDerivaatan merkintä
∫ (integraalifunktio)
muokkaaIntegraalifunktion merkintä
∂
muokkaaOsittaisderivaatan merkintä (sekä engl. boundary (topologia))
||
muokkaaYhdensuuntaisuuden merkintä
/
muokkaa(engl. quotient group); (engl. quotient set)
≈
muokkaaLikiarvon merkintä sekä isomorfismin merkintä
~
muokkaaSaman suuruusluokan merkintä sekä karkean likiarvon merkintä
Katso myös
muokkaaLähteet
muokkaa- ↑ Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 255. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
Aiheesta muualla
muokkaa- Englanti-suomi sanakirja matematiikan käsitteille (Arkistoitu – Internet Archive)
- Matematiikan ja fysiikan merkinnät Nykyajan kielenopas.
- Matemaattisen tekstin kirjoittaminen Matematiikan laitos, Tampereen teknillinen yliopisto. Arkistoitu 20.5.2006. Viitattu 6.2.2011.