Avaa päävalikko

Riemannin integraali on sovellettu integraali, joka on mittaintegraaleihin verrattuna helpommin määriteltävissä. Sen avulla voi määrittää pituuksia, pinta-aloja, tilavuuksia sekä pyörähdyskappaleiden tilavuuksia ja pinta-aloja.

Riemannin integraali perustuu integroitavan funktion alle jäävän pinta-alan jakamiseen äärettömän pieniin paloihin. Sillä on teoreettisia rajoituksia, jotka voidaan ohittaa käyttämällä esimerkiksi Lebesguen integraalia, joka saa Riemann-integroituvilla funktioilla samat arvot. On olemassa funktioita, jotka ovat Lebesgue-integroituvia mutta eivät ole Riemann-integroituvia.

Riemannin integraali oli ensimmäinen funktiolle reaaliakselin välin yli muodollisesti määritelty integraali. Se on nimetty kehittäjänsä Bernhard Riemannin mukaan.

Integrointi on derivoinnin käänteisoperaatio.

Riemannin integraalin määrittelyMuokkaa

 
Käyrän y=f(x), x-akselin sekä suorien x=a ja x=b väliin jäävä tasokuvio S, jonka pinta-ala yritetään määrittää

Riemannin integraalin määrittelyn tavoitteena on löytää yksiselitteinen pinta-ala reaalilukujen tason kuviolle, jonka rajaavat koordinaatistossa suorat  ,   ja  , sekä käyrä  , missä   on funktio  . Tutkittavat pinta-alat ovat etumerkillisiä. Toisin sanoen, jos   saa negatiivisia arvoja, ovat pinta-alat negatiivisia. Tason kuvaamiseen käytetään merkintää:

 

Funktion   halutaan sallia olevan mahdollisimman yleinen, toisin sanoen tässä ei rajoituta integroitaviin funktioihin, jotka ovat jossakin mielessä sopivan sileitä. Tämän vuoksi tässä esiteltävä määritelmä saattaa olla monimutkaisempi kuin joissakin oppikirjoissa.

Tämä määrittely tehdään jakamalla väli   osaväleihin, joita sitten tihennetään äärettömästi. Jokaisella osavälillä suoran   ja käyrän   väliin jäävää pinta-alaa approksimoidaan suorakulmioilla. Jaon tihentyessä suorakaiteiden pinta-alojen summan pitäisi supeta kohti kysyttyä pinta-alaa. Riemannin integraalissa suorakaiteen korkeudeksi valitaan funktion   arvo osavälin mielivaltaisessa pisteessä, jolloin jokaista jakoa vastaavan kuvion pinta-ala on niin kutsuttu Riemannin summa. Tässä annetaan kuitenkin myös Darboux'n integraalin määritelmä, missä valitaan kaksi suorakaiteen korkeutta, jotka ovat funktion   maksimi ja minimi kullakin osavälillä, ja sen jälkeen tutkitaan, suppenevatko kyseiset pinta-alat, niin kutsutut Darboux'n ylä- ja alasumma, toisiinsa.

 
Riemannin integraalia määritettäessä jaetaan funktion   tutkittava väli osaväleihin, jolloin jakopisteinä ovat  , joihin approksimoidaan suorakulmiot. Jakopisteiden tihentyessä infinitesimaalisen välimatkan päähän toisistaan saadaan funktion integraali summaamalla suorakulmiot.

Annetaan nyt muutama määritelmä, joilla saadaan muotoiltua vaadittava osavälien tihentäminen teknisesti. Olkoon   ja  . Välin    -välinen jako on lukujono

 ,

jolle pätee   kaikilla  ,   ja  . Tällöin välit  , missä  , muodostavat yhteisiä päätepisteitä lukuun ottamatta välin   osituksen.

Jatkossa jaon merkitsemiseen käytetään symbolia  , ja lisäksi oletetaan, että   on  -jakoinen, missä siis   on luonnollisten lukujen jono. Jaon   jakopisteitä merkitään symbolilla  , missä  , eli toisin sanoen

 .

Jaon   pisin jakoväli on luku

 .

Jako   on jaon   tihennys, jos  , eli jaossa   on vähintään samat jakopisteet kuin jaossa  . Jakojen jono   on tihenevä, jos jokainen jako   on sitä edeltävän jaon   tihennys.

Riemannin summa ja integraaliMuokkaa

Olkoon   välin   jako, ja jono

 

sellainen, että   kaikilla  .

Olkoon   funktio  . Funktion   jakoa   pisteissä   vastaava Riemannin summa on

 .

Riemannin summan jokainen termi vastaa siis sellaisen suorakaiteen etumerkillistä pinta-alaa, jonka kanta on   ja korkeus  . Se voidaan täten mieltää etsityn pinta-alan likiarvoksi. Likiarvon voisi olettaa tarkentuvan, kun jakoa tihennetään, mutta näin ei välttämättä ole. Esimerkiksi rationaalilukujen joukon indikaattorifunktiolle   voidaan kaikille tiheneville jakojonoille   valita pisteet   siten, että vastaava Riemannin summien jono   ei suppene.

Riemannin integraali määritellään seuraavaksi tihenevän jaon Riemannin summien raja-arvona. Koska raja-arvo ei välttämättä ole olemassa, sanotaan Riemann-integroituviksi niitä funktioita, joilla raja-arvo on olemassa riippumatta pisteiden   valinnasta.

Olkoon jakojen jono   tihenevä ja  , kun  . Tämän voi tulkita niin, että jaot hienonevat äärettömän tiheiksi koko välillä  . Sanotaan, että funktion   Riemannin summilla on raja-arvo  , jos jokaiselle luvulle   on olemassa luvut   ja   siten, että

 , kun  ,

ja   on yksikäsitteinen kaikilla jonolla  . Jos Riemannin summilla on raja-arvo  , niin funktio   on Riemann-integroituva välillä   ja sen Riemannin integraali on luku  . Tällöin merkitään

 .

Tässä merkintätavassa funktiota   kutsutaan integrandiksi.

Tämä määritelmä saattaa olla vaikeaselkoinen ja sen käyttäminen monimutkaista. Seuraavaksi määritellään Darboux'n integraali, jonka määritelmä lienee intuitiivisempi ja joka on ominaisuuksiltaan olennaisin osin sama kuin Riemannin integraali.

Darboux'n integraaliMuokkaa

Olkoon   reaalifunktio  . Funktion   Darboux'n yläsumma jaolla   on

 .

Vastaava Darboux'n alasumma on

 .

Olkoon jakojen jono   tihenevä ja  , kun  . Jaon ollessa tihenevä, ovat sekä Darboux'n ylä- että alasummien arvot, eli jonot   ja  , monotonisia. Darboux'n yläintegraali on yläsummien vähenevän jonon infimum, eli luku

 .

Darboux'n alaintegraali on puolestaan alasummien kasvavan jonon supremum, eli luku

 .

Funktio   on Darboux-integroituva, jos edellä mainitut raja-arvot ovat yhtäläiset eli

 .

Tällöin kyseistä raja-arvoa kutsutaan funktion   Darboux'n integraaliksi yli välin  .

Funktio on Darboux-integroituva jos ja vain jos se on Riemann-integroituva. Yleinen tapa tarkastaa, onko funktio Riemann-integroituva, onkin verrata sen Darboux'n ylä- ja alaintegraalin arvoja. Lisäksi Darboux'n integraalin arvo on sama kuin Riemannin integraalin, toisin sanoen jos   on Darboux- eli Riemann-integroituva, niin

 .

Näistä syistä johtuen Riemannin integraali voidaan periaatteessa määritellä kuten Darboux'n integraali. Joissakin oppikirjoissa esitelläänkin Darboux'n integraali Riemannin integraalina.

Darboux'n ylä- ja alasummat voidaan merkitä myös   ja  , joissa P on välin jako.

Riemannin integraalin määritelmän yleistäminenMuokkaa

Riemannin integraali yleistetään mielivaltaiselle integrandin lähtöjoukolle seuraavasti. Olkoon joukko   sellainen, että  ,   reaalifunktio   ja   sen rajoittuma välille  . Jos   on Riemann-integroituva, niin sanotaan, että   on Riemann-integroituva välillä  , ja funktion   Riemannin integraaliksi yli välin   määritellään

 .

Lisäksi määritellään

 

ja

 .

Epäoleellinen integraaliMuokkaa

Epäoleellinen integraali on Riemannin integraalien raja-arvo, jossa väli, jonka yli integroidaan, lähestyy joukkoa jossa Riemannin integraali ei ole edellä olevan määritelmän mukaan määritelty. Epäoleellinen integraali voidaan tulkita Riemannin integraalin laajennukseksi, eikä merkinnöissä näille tehdä yleensä eroa.

Ensiksi määritellään epäoleellinen integraali rajoitetulle suljetulle välille tapauksessa, jossa integrandi ei ole määritelty toisessa välin päätepisteessä. Toiseksi määritellään epäoleellinen integraali rajoittamattomalle välille.

Olkoon funktio   Riemann-integroituva kaikilla väleillä  . Jos vasemmanpuoleinen raja-arvo

 

on olemassa eli reaaliluku, ääretön tai miinus ääretön, niin funktion   epäoleellinen integraali yli välin   on

 .

Funktiolle   epäoleellinen integraali määritellään samoin oikeanpuoleisen raja-arvon kautta.

Olkoon funktio   Riemann-integroituva kaikilla väleillä  . Jos raja-arvo

 

on olemassa, niin funktion   epäoleellinen integraali yli välin   on

 .

Samoin määritellään funktiolle  

 .

Riemannin integraalin ominaisuuksiaMuokkaa

Koska Riemannin integraali on määritelty mittateoriasta riippumattomasti, ei se peri kaikkia yleisiä mittaintegraalin ominaisuuksia, vaan ne on johdettava sen määritelmästä analyysin menetelmin. Useimmat niistä ovat johdettavissa, mutta erityisesti konvergenssilauseita ei pysty Riemannin integraalille todistamaan ilman mittateoriaa. Ne ja kaikki muutkin mittaintegraalin ominaisuudet kuitenkin ovat voimassa, sillä Riemannin integraali yhtenee Riemann-integroituville funktioille joidenkin mittaintegraalien kanssa, esimerkiksi Lebesguen integraalin ja Riemann–Stieltjes-integraalin, jonka integraattori on identtinen kuvaus.

Riemann-integroituvia funktioitaMuokkaa

Suljetulla välillä jatkuvat funktiot ovat Riemann-integroituvia. Riemann-integroituvien funktioiden summa ja tulo on Riemann-integroituva.

Riemann-integroituvien funktioiden integraalien ominaisuuksiaMuokkaa

  • Jos  ja   ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}], niin  
  • Jos  ja   ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}], niin   kaikilla  min max 
  • Jos  ja   ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}], niin   kaikilla  min max 

Integraalilaskennan väliarvolauseitaMuokkaa

Jos funktio   on Riemann-integroituva välillä  , niin

 .

Jos   on jatkuva välillä  , niin on olemassa sellainen  , että

 .

Edellä olleita tuloksia kutsutaan integraalilaskennan väliarvolauseiksi. Seuraavia kutsutaan (integraalilaskennan) yleistetyiksi väliarvolauseiksi.

Jos funktiot   ja   ovat Riemann-integroituvia välillä  ,   ja

 ,

niin

 .

Jos   on jatkuva välillä  , niin on olemassa sellainen  , että

 .

Riemann-integroituvien funktioiden jonojen ominaisuuksiaMuokkaa

Nimenomaan funktiojonoja tutkittaessa Riemannin integraalin tekniset puutteet tulevat esiin. Mittateoriassa on käytännöllisiä ja vahvoja konvergenssilauseita, joiden todistaminen on Riemannin integraalille mahdotonta pelkästään analyysin keinoin. Ne pätevät myös Riemannin integraalille, mutta tässä annetaan kaksi ilman mittateoriaa johdettavissa olevaa kaavaa integroimisen ja funktiojonon raja-arvon oton järjestyksen vaihtamiselle. Ne vaativat tasaisen suppenemisen ehdon, mikä on vaativampi ja monimutkaisempi kuin konvergenssilauseiden ehdot, jotka ovat funktiojonon monotonisuus tai funktiojonon rajoittuneisuus. Pelkkä pisteittäinen suppeneminen ei takaa integroimisen ja raja-arvon oton järjestyksen vaihdettavuutta.

Olkoon   jono Riemann-integroituvia funktioita  .

Jos   suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin raja-arvon ja integroimisen järjestys voidaan vaihtaa, eli pätee kaava

 .

Jos sarja

 

suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin summan raja-arvon ja integroimisen järjestys voidaan vaihtaa, eli pätee kaava

 .

Riemannin integraalin arvon määrääminenMuokkaa

Riemannin integraalin arvo voidaan laskea integraalifunktion avulla. Muita yleisiä apukeinoja ovat sijoittaminen eli muuttujanvaihto ja osittaisintegrointi.

Analyysin ensimmäinen peruslauseMuokkaa

Analyysin ensimmäinen peruslause antaa yhteyden integraalifunktion ja Riemannin integraalin välille sekä hyvin käytännöllisen tavan Riemannin integraalien laskemiseen. Sen mukaan, jos   on välillä   jatkuva funktio ja   jokin sen integraalifunktio, niin pätee yhtälö

 .

EsimerkkiMuokkaa

Analyysin peruslauseen käyttöä voi valaista seuraavalla esimerkillä. Lasketaan Riemannin integraalin

 

arvo. Koska funktiolle

 

pätee

 ,

niin analyysin peruslauseesta seuraa tulos

     
   
   
   .

Integrointi sijoittamallaMuokkaa

Olkoon   jatkuva funktio reaalivälillä  . Jos   funktio  , jonka derivaatta on jatkuva ja jolle   ja  , niin

 

Tässä siis muuttujan   tilalle sijoitetaan muuttujan   kuvaus  , eli identtisen kuvauksen   tilalle sijoitetaan kuvaus  . Tätä kutsutaan Riemannin integraalin muuttujanvaihtokaavaksi. Laskua, jossa etsitään kuvaus   ja sijoitetaan se muuttujanvaihtokaavaan, kutsutaan sijoittamalla integroimiseksi.

EsimerkkiMuokkaa

Tyypillistä sijoittamalla integroimista voi kuvata seuraavalla esimerkillä. Riemannin integraalin

 

laskeminen pelkän analyysin peruslauseen avulla lienee vaikeaa.

Sijoitetaan muuttujan   tilalle kuvaus  . Nyt edellä olevan kaavan merkinnöin

  •  
  •   ja  
  •  .

Koska

  ja  ,

rajoiksi saadaan

  ja  

Sijoittamalla nämä arvot ja   muuttujanvaihtokaavaan, saadaan

 

Tästä voidaan jatkaa ratkaisuun käyttämällä trigonometrisiä kaavoja ja analyysin peruslausetta. Koska   saadaan:

 

Koska kosini on ei-negatiivinen kyseisellä integroimisvälillä, on

 

Sijoittamalla   seuraa:

 

Edeltävästä esimerkistä seuraa lopputulos

 

OsittaisintegrointiMuokkaa

Osittaisintegrointi on operaatio, jonka merkitys riippuu asiayhteydestä, mutta osittaisintegrointikaava Riemannin integraalille pätee seuraavassa muodossa. Olkoon   ja   derivoituvia sekä derivaatat   ja   Riemann-integroituvia välillä  . Tällöin

 

EsimerkkiMuokkaa

Lasketaan Riemannin integraali osittaisintegroinnilla. On annettu integraali:

 

Valitaan osittaisintegrointikaavassa

  •  
  •  

Tällöin

  •  
  •  

Osittaisintegrointikaavan mukaan:

 


Riemannin integraalin sovelluksiaMuokkaa

Riemannin integraali soveltuu määritelmänsä kautta luonnollisesti tasokuvioiden pinta-alojen laskemiseen.

Tasokuvion pinta-alaMuokkaa

Tasokuvion, joka jää suorien   ja   sekä x-akselin ja jatkuvan funktion   kuvaajan   sisäpuolelle, pinta-ala on

 .
 
Funktion f kuvaaja sinisellä, funktion g kuvaaja punaisella ja niiden väliin jäävä tasokuvio vaaleansinisellä

Yleisemmin, jos   ja   ovat jatkuvia funktioita   ja  , niin niiden kuvaajien sekä suorien   ja   väliin jäävän tasokuvion pinta-ala on

 .

Käyrän pituusMuokkaa

Pääartikkeli: Käyrän pituus

Olkoon   tasokuviossa jatkuva käyrä, joka on kuvaus

 

,missä   ja   ovat kuvauksia  , joiden derivaatat ovat jatkuvia välillä  . Tällöin käyrän   pituus on:

 

Käyrän pyörähdyskappaleen tilavuusMuokkaa

Jos   on jatkuva funktio, niin suorien   ja   ja käyrän   x-akselin pyörähdyskappaleen tilavuus on

 .

Käyrän pyörähdyskappaleen pinnan alaMuokkaa

Jos   on funktio  , joka on positiivinen välillä   ja jonka derivaatta on jatkuva välillä  , niin käyrän   pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän kappaleen pinnan ala on

 .

LisäesimerkkejäMuokkaa

1.[1]

                             (laskeva suora)
            (paraabelin kaari)
                               (nouseva suora)

Integraalin pienin arvo on  , ja se on paraabelin kaaren alueella t:n arvolla  .

2.   [2]

Esimerkki liittyy esim. kolikon heittämiseen, missä kruunan todennäköisyys on p ja klaavan näin ollen 1-p. Kolikkoa on heitetty n kertaa ja saatu k kruunaa ja n-k klaavaa.

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Metsänkylä, Y. ja Metsänkylä, R.: Matemaattiset tehtävät ylioppilastutkinnoissa 1969–1989. 36. painos, s. 10, tehtävä 10. Jyväskylä, Gummerus, 1981. ISBN 951-20-1814-4.
  2. How to evaluate this integral? (relating to binomial) 19.3.2012. Mathematics Stack Exchange. Viitattu 9.6.2013. (englanniksi)

KirjallisuuttaMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa