Arabiankielinen matematiikka keskiajalla

Arabiankielinen matematiikka, jota harjoitettiin islamilaisen sivilisaation maissa, oli maailman edistyneintä 800-luvulta 1400-luvulle ylittäen sekä Euroopassa, Intiassa että Kiinassa saavutetun tason.[1] Islamilaisen tai arabialaisen tieteen sijaan on oikeampaa puhua arabian kielellä kirjoitetusta matematiikasta, sillä useimmat matemaatikot olivat persialaisia, eivätkä kaikki olleet muslimeja. Toisaalta islamilaisessa maailmassa kirjoitettiin myös persiaksi ja hepreaksi.

Sivu al-Khwarizmin kirjasta al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala, jonka nimestä on peräisin sana "algebra". Latinaksi käännettynä se oli oppikirjana Euroopassa 1500-luvulle asti.

Arabiankielinen matematiikka saavutti 1000- ja 1100-luvuilla tason, joka Euroopassa ylitettiin vasta 1400–1500-luvuilla.[2]

YleiskuvaMuokkaa

Islamilaisessa maailmassa tapahtunut matematiikan kehitys johtui abbasidikalifien luomasta tieteelle myötämielisestä politiikasta. Menestyksen perustan loi jokseenkin kaikkien kreikkalaisten matemaattisten tekstien kääntäminen arabiaksi 800-luvulta alkaen (esim. Eukleides, Arkhimedes, Apollonios). Eurooppaan verrattuna arabiankieliset tiedemiehet saivat myös käyttöönsä tehokkaamman merkkijärjestelmän, kun Intiasta omaksuttiin kantalukuun 10 perustuva paikkajärjestelmä, jossa oli oma merkkinsä myös nollalle.[3]

Vaikka muillakin tieteenaloilla tapahtui edistystä islamilaisessa maailmassa, se oli erityisen näkyvää matemaattisten tieteiden alueella. Abstraktin luonteensa takia matematiikka oli luonnonfilosofiaa paremmin suojassa uskonnolliselta dogmatismilta, joka islamilaisessa maailmassa alkoi nousta jo 900-luvulla.[4] Tällaisia suojatumipia matemaattisia tieteitä olivat myös esimerkiksi tähtitiede ja geometrinen optiikka.[5]

Kun al-Kashi kuoli 1429 Timur Lenkin mongolivaltakunnassa, arabiankielisen matematiikan suuruuden aika oli ohi, ja alan johtajuus siirtyi Eurooppaan. Arabiaksi kirjoittaneet matemaatikot, jotka melkein kaikki olivat persialaisia, olivat kuitenkin merkittävästi edistäneet tieteenalaa siitä, mitä se oli ollut kreikkalaisten ja hindujen jäljiltä.[6] Algebra oli systematisoitu ja nyt osattiin laskea polynomeilla, joissa oli mitä tahansa positiivisia tai negatiivisia kokonaislukuja. Hinduilta opittu desimaalimatematiikka oli muutettu desimaalilukujen sujuvaksi käytöksi. Geometriassa Omar Khaijamin tutkimukset Saccherin nelikulmiolla olivat johtamassa epäeuklidiseen geometriaan. Trigonometriassa oli luotu laaja kokoelma funktioita, teoreemoja ja taulukoita. Näillä tuloksilla tuli olemaan pysyvä sijansa matematiikan tietovarannossa.[7]

Islamilainen maailma tarvitsi matematiikkaa laskutoimituksiin ja mittaamiseen. Erityisesti islamilaisia tarpeita olivat Mekan suunnan määrittäminen ja rukousten ajankohtien tarkentaminen, mitä varten 1100-luvulta lähtien Egyptin ja Syyrian moskeijoissa oli "ajanottajia". Hallitsijat tarvitsivat matemaatikoita hovinsa koristeiksi sekä tähtitieteellisiin observatorioihin. Matematiikkaa käytettiin myös rakennusten suunnittelussa.[8]

Islamilaisen maailman dogmatisoituminen alkoi silti näkyä myös tällä alalla. 900-luvulla matemaatikko al-Sijzi kirjoitti, että heillä päin oli lupa tappaa geometrikkoja, ja suuri islaminoppinut al-Ghazali kysyi 1000-luvulla purevasti, kuinka montaa matemaatikkoa oikeastaan tarvittiin.[9] Uusien keksintöjen sovellutukset jäivät lopulta vähäisiksi. Matematiikan kehitys ei mullistanut islamilaista maailmaa, kuten se teki länsimaissa, missä tieteellis-tekninen kumous perustui luonnontieteiden matematisointiin.

Osa arabiankielisen matematiikan perinnöstä siirtyi käännöksinä Eurooppaan, missä se nopeutti matematiikan kehitystä. Suuri osa arabialaisesta matematiikasta toisaalta unohtui ja katosi, kun islamilainen sivilisaatio menetti kiinnostuksensa muihin kuin uskonnollisiin asioihin. Tällaisia unohtuneita keksintöjä on nykypäivinä kaivettu esiin.[10]

Saavutuksia eri aloillaMuokkaa

Carl Boyerin mukaan islamilaisen maailman matematiikka voidaan jakaa neljään osaan: 1) aritmetiikkaan, joka käytti luultavasti Intiasta peräisin olevaa paikkamerkintää ja kymmenlukujärjestelmää; 2) algebraan, joka sai vaikutteet kreikkalaisilta, intialaisilta ja babylonialaisilta, mutta sai uuden systemaattisen muodon; 3) trigonometriaan, jonka sisältö oli peräisin lähinnä Kreikasta, mutta joka sovitettiin intialaiseen muotoon ja johon lisättiin uusia kaavoja ja funktioita; 4) geometriaan, joka tuli Kreikasta, mutta johon lisättiin satunnaisia yleistyksiä. [11]

AritmetiikkaMuokkaa

Ensimmäinen kirjallinen merkintä intialaisen lukujärjestelmän leviämisestä on vuodelta 662, jolloin syyrialainen piispa Severus Sebokt mainitsee, että hindut ovat keksineet nerokkaan menetelmän, jonka avulla voidaan laskea laskea käyttäen vain yhdeksää numeromerkkiä.[12] Järjestelmän käyttö yleistyi kuitenkin hitaasti, eikä sitä mainita missään ennen al-Khwarizmia 800-luvulla. Sen sijaan Euroopassa kömpelöt roomalaiset numerot olivat käytössä 1200-luvulle asti ja vielä myöhemminkin.[13]

Vasta 900-luvulla päästiin kokonaislukuja pienempiin osiin, kun al-Uqlīdisī otti käyttöön desimaalierottimen. Kaksisataa vuotta myöhemmin Al-Samawal käytti desimaalierotinta jo vakiintuneesti. Murtolukujen käyttöä (esim. 1/2) esiintyi vain arabimaailman länsilaidalla, missä Abu Bakr al-Hassar 1100-luvulla otti merkinnän käyttöön. [14] Se siirtyi nopeasti Eurooppaan, missä Fibonacci käytti merkintää pian sen jälkeen.

Neliöjuuri ja kuutiojuuri olivat jo intialaisia keksintöjä, mutta Omar Khaijam 1100-luvulla väitti keksineensä keinon laskea juuria mihin määrään asti tahansa. Todistelu on kuitenkin kadonnut. Myöhemmin al-Kashi onnistui 1400-luvulla laskemaan viidennen juuren.[14]

Uuden numerojärjestelmän käyttöön oton hitaus saattoi johtua teknologiasta: kynän ja paperin sijaan laskettiin pitkään piirtämällä tikun avulla hiekka- tai vahalevylle, jossa oli vain vähän tilaa. Laskutoimituksiin käytettiin senkin takia "mentaalista" menetelmää, jossa apuna käytettiin sormia ja vain lopputulos piirrettiin näkyviin.[14]

AlgebraMuokkaa

Sana algebra tulee arabian sanasta al-jabr, joka tarkoitti palauttamista, etenkin negatiivisten lukujen muuttamista positiivisiksi siten, että ne siirrettiin yhtälön toiselle puolelle. Metodin esitteli al-Khwarizmi. Yhtäläisyysmerkki tosin kehitettiin vasta 1500-luvulla Euroopassa. [15] Al-Khwarizmi kehitti "Lyhyessä algebran laskuopissaan" muun muassa neliöjuuria koskevaa matematiikkaa, pinta-alojen laskemista ja matematisoi islamilaisen lain mukaisen perinnönjaon kysymyksiä. Teos nojautuu hellenistisiin, juutalaisiin ja hindulähteisiin ja niiden kautta aina balylonialaiseen matematiikkaan asti. [16] Nykyaikaista algebrallista merkitsemistapaa al-Khwarizmi ei vielä käyttänyt, vaan asiat esitettiin sanallisesti. Algebralliset symbolit otettiin käyttöön vasta Euroopassa 1200-luvulla, vaikka niitä alkoi sitä ennen esiintyä jo 1100-luvulla Maghrebin alueella Pohjois-Afrikassa .[17]

Egyptiläinen Abu Kamil (850–930) esitti kirjassaan "Algebra" monet al-Khwarizmin saamat tulokset yleistetyssä ja yksinkertaisemmassa muodossa. Muita tunnettuja algebran kehittäjiä olivat Omar Khaijam ja al-Tusi. Arabian kielellä raportoiduista keksinnöistä vain osa siirtyi latinankielisinä käännöksinä Eurooppaan. Silti ainakin al-Khwarizmin, Abu Kamilin ja al-Karajin työt ovat myös vaikuttaneet Euroopan matematiikan kehitykseen.[10]

TrigonometriaMuokkaa

Trigonometrisia ongelmia alettiin pohtia tähtitieteellisten kysymysten yhteydessä. Tieteenala syntyi Kreikassa ja levisi Aleksanteri Suuren mukana Intiaan asti. Sen sijaan antiikin roomalaiset eivät siitä kiinnostuneet. Arabit tutustuivat trigonometriaan sekä kreikkalaisten että intialaisten opettajien kautta. Tärkein kreikkalaisilta saatu lähde oli Ptolemaioksen Almagest, intialaisilta saatiin sinitaulukkojen alkeismuoto.[18] Arabiankielisillä tutkijoilla oli huomattava merkitys trigonometrian kehittäjinä.[19]

Persian Mervissä elänyt Habash al-Hāsib (k. 864–874) esitti 830-luvulla tangentin käsitteen. Tangentti liittyi varjon pituuksien teoriaan, jossa tarkkailtiin tietyn pituisen mittatikun varjon pituuksia suhteessa auringon korkeuskulmaan. Tätä tarvittiin rukousaikojen tarkentamiseen.[20] Uskonnoltaan saabilainen al-Battani (k. 929) keksi komplementtikulman sinin eli kosinin. Hän mittasi myös aurinkovuoden pituuden parin minuutin tarkkuudella.[20] Al-Battanin tekstejä käännettiin latinaksi ja niitä lukivat vielä 1600-luvulla Euroopassa muun muassa Kopernikus ja Kepler.[21]

Bagdadissa toiminut Abu al-Wafa (940–998) yhtenäisti trigonometrisen teorian ja esitti kaikki kuusi trigonometrista funktiota yhtenäisessä muodossa. Al-Bīrūnī (973–1048) käsitteli kaikkien trigonometristen funktioiden välisiä riippuvuussuhteita ja antoi esimerkkejä niiden soveltamista. Al-Bīrūnī esitteli kirjoituksissaan myös sinilauseen yhdessä sen todistuksen kanssa.[20]

GeometriaMuokkaa

Varhaisimmat geometriasta kirjoittaneet arabiankieliset tiedemiehet olivat al-Khwarizmi ja Banu Musa. Molemmat hyödynsivät antiikin lähteitä, ja heidän teoksiaan vuorostaan käännettiin latinaksi. Al-Khwarizmi esitti, miten kolmion korkeus lasketaan sen sivujen avulla, ja miten ympyröiden ja sektoreiden pinta-aloja lasketaan. 900-luvulla Abu al-Wafa keskittyi pinta-alojen ja tilavuuksien mittaamisen ongelmiin, joita tarvittiin muun muassa arkkitehtuurissa. Thabit ibn Qurra käänsi useita kreikkalaisia teoksia. Hän laajensi ja korjasi lauseita ja todistuksia esimerkiksi lukuteoriassa ja paraboloidien geometriassa.[22]

1200-luvulla persialainen Nasir al-Din al-Tusi (k. 1274) tutki geometriaa ja trigonometriaa ja tuotti ensimmäisen järjestelmällisen pallogeometrian esityksen. Persialainen al-Kashi laski 1400-luvulla piin likiarvon 16. desimaaliin asti. Koska maapallon säde oli laskettu, ja maailmankaikkeus arvioitiin 600 000 kertaa maata suuremmaksi, al-Kashi kehaisi laskeneensa maailman läpimitan hevosen karvan tarkkuudella.[23]

Soveltavat tieteet: optiikka ja mekaniikkaMuokkaa

Keskiajan islamilalsessa maailmassa optiikka ja mekaniikka erityisesti nousivat esille matemaattisten löytöjen soveltamisen alueina. Antiikin kreikkalaisessa ajattelussa molempien katsottiin kuuvuvan matematiikan alaan. Molempien alojen kukoistusaika sijoittui vuosiin 800–1200, ulottui maantieteellisesti koko islamilaiseen maailmaan ja tuotti aluksi arabiankielistä, mutta myöhemmin myös persiankielistä kirjallisuutta. [24]

Optiikan alalla merkittävin hahmo oli Abu al-Hasan ibn al-Haitham (865–1040), jonka massiivinen teos optiikasta Kitab al-Manazir eli "Kirja näkemisestä" tai "Kirja optiikasta" käsitti seitsemän nidettä. Se oli kattava esitys valoa koskevista teorioista (osa I), näkemisestä (osa II), optisista illuusioista (osa III) sekä näkemisestä ja valon heijastumisesta ja taittumisesta (osat IV–VII). [25] Teos käännettiin latinaksi 1200-luvun alussa nimellä De aspectibus, ja sillä oli syvällinen vaikutus eurooppalaiseen tutkimukseen seuraavat 300 vuotta.[25][26] Vuonna 1572 Friedrich Risner julkaisi kirjan painettuna nimellä "Opticae thesaurus eli Optiikan aarteisto.[27] Alhazen loi näkemisen intramissiota koskevan synteettisen teorian, joka perustui siihen, että näkemisessä aistimukset tulevat valona silmään. Muita merkittäviä optiikasta kirjoittaneita tutkijoita olivat Yaqub al-Kindi (k. 870), Nasir al-Din Tusi (k. 1270) ja Kama al-Diral al-Farisi (k. 1318).[27]

Mekaniikan alalla edistysaskeleita olivat yksinkertaiset koneet. Sellaisia olivat nostolaitteet kuten vivut, joita kolme Musa-veljestä tutki 800-luvulla. Niitä olivat myös vaa'at ja mitat, joista Thabit ibn Qurra kirjoitti 800-luvulla kirjassa Kitab al-Qarastun. Mitoista kirjoitti myös al-Biruni 1000-luvulla. [28]

Matemaattisten instrumenttien kehittämisessä tärkein askel oli astrolabin jatkokehittely. Astrolabi oli kreikkalaisten kehittämä laite tähtitieteellisten havaintojen tekoon. Siitä kehittyi myöhemmin merenkulkijoita palvellut sekstantti. Arabit tekivät astrolabiin parannuksia, joiden avulla voitiin paikantaa Mekan suunta (atsimuutti) rukouksia varten. Andalusiassa astrolabin rakennetta yksinkertaistettiin kaikkiin leveysasteisiin sopivaksi universaaliksi astrolabiksi.[29]

Merkittäviä arabiankielisiä matemaatikkojaMuokkaa

800-lukuMuokkaa

  • Al-Khwarizmi (n. 800–840) oli persialainen matemaatikko, joka toimi Bagdadissa al-Mamunin kalifikaudella. Hän kirjoitti vuonna 825 teoksen Algoritmi de numero Indorum, joka on säilynyt vain latinankielisenä käännöksenä. Kirjassa esiintyy ensimmäisen kerran arabialais-hindulainen paikkamerkkijärjestelmä.[30] Sana algoritmi tulee al-Khwarizmin nimestä ja sana algebra (al-jabr) on peräisin hänen kirjastaan Al-kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa’l-muqābala (Lyhyt algebran laskuoppi). Se käännettiin ensimmäisen kerran latinaksi vuonna 1145 nimellä Liber Algebræ et Almucabola ja toimi algebran perusoppikirjana Euroopassa 1500-luvulle asti.[16] Täydellisempi versio teoksesta on säilynyt vain arabiaksi. Kirja käsitteli kokonaislukujen laskusääntöjä sekä ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöitä. Se oli paljon alkeellisemmalla tasolla kuin 200-luvulla eläneen Diofantoksen esittämät ongelmat ja on myös puhtaasti retorista – jopa luvut kirjoitetaan sanoin eikä numeroin. Kirja oli suoraviivainen ja alkeellinen esitys varsinkin toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta. Kirja sisältää kaikki sellaiset lineaariset ja toisen asteen yhtälöt, joilla on positiivinen juuri. Esitys on niin kattava, että Al-Khwarizmia pidetään myös Euroopassa algebran perustajana.[31] Keskiajalla uskottiin, että kirjan käyttämä intialainen numerojärjestelmä olisi ollut al-Khwarizmin itsensä kehittämä, minkä takia siitä alettiin käyttää hänen nimestään väännettyä sanaa "algorismi" tai "algoritmi". Nykyään sana tarkoittaa mitä tahansa tarkasti määriteltyä laskentasääntöä.[32]
  • Thābit ibn Qurra (826–901) työskenteli Bagdadissa. Hän käänsi lukuisia kreikkalaisia matemaattisia kirjoja arabiaksi. Ibn Qurra löysi alkulukuja koskevan "ystävällisten lukujen kaavan" ja esitti Pythagoraan lauseen yleistyksen, joka soveltuu kaikkiin kolmioihin. Hän laajensi ja korjasi lauseita ja todistuksia esimerkiksi lukuteoriassa ja paraboloidien geometriassa.[33][34]

900-lukuMuokkaa

  • Abu’l-Hasan al-Uqlīdisī (n. 920 – n. 980) oli Damaskoksessa abbasidivaltakunnassa vaikuttanut arabi, joka käytti ensimmäisenä desimaalisia murtolukuja vuonna 953 kirjoittamassaan teoksessaan "Kirja hinduaritmetiikasta".[35] Pilkun sijaan hän käytti pystyviivaa, joten esimerkiksi 8,25 merkittiin 8|25, missä 2 tarkoitti kymmenesosia ja 5 sadasosia.[14]
  • Abu al-Wafa (940–998) löysi uuden keinon laskea sinitaulukoita. Hänen trigonometriset taulukkonsa on tehty kahdeksan desimaalin tarkkuudella, kun Ptolemaios pääsi vain kolmeen desimaaliin.[36]

1000-lukuMuokkaa

1000-luvun alku oli arabialaisen oppineisuuden loistoaikaa, mutta monet merkittävät oppineet kuten Avicenna (980–1037) eivät juuri kirjoittaneet matematiikasta.

  • Al-Karaji (953 – n. 1019/1029) oli persialainen matemaatikko, joka oli syntynyt lähellä Teherania, mutta muutti Bagdadiin.
  • Alhazen eli ibn al-Haitham (n. 965–n. 1040) kirjoitti teoksen Kitab al-Manazir , jossa hän käsitteli muun muassa valon heijastumista ja taittumista. Ongelmaa, missä pallopeililtä etsitään piste, jonka kautta valonlähteestä tuleva säde heijastuu havaitsijan silmään, kutsutaan edelleen "Alhazenin probleemaksi."[37] Alhazen syntyi Irakin Basrassa mutta teki elämäntyönsä fatimidien valtakunnan pääkaupungissa Kairossa. Alhazen yhdisti matematiikkaa luonnontieteellisiin ongelmiin ja suoritti empiirisiä kokeita. Näissä suhteissa hän oli Galilein varhainen edeltäjä.
  • Al-Biruni (973–1048) esitteli intialaista matematiikkaa ja paikkamerkintää kirjassaan Intia. Al-Biruni esitti todisteet Heronin kaavalle ja Brahmaguptan kaavalle. Hän pohti myös kysymystä, pyöriikö maa akselinsa ympäri.[38]
  • Omar Khaijam (1048–1131) oli persialainen matemaatikko ja runoilija, joka eli Nishapurissa itäisessä Iranissa turkkilaisten seldzukkien valtakunnassa. Hän kirjoitti al-Khawarizmin teosta laajemman algebran esityksen, joka sisälsi myös kolmannen asteen yhtälöiden positiivisten juurien ratkaisemisen geometrisella menetelmällä. Hän pyrki kaventamaan numeerisen ja geometrisen algebran välistä jakoa. Lisäksi hän pyrki täsmentämään rationaaliluvun, reaaliluvun ja irrationaaliluvun käsitteitä. Khaijam käytti ensimmäisenä yhdensuuntaisten suorien tutkimisessa Saccherin nelikulmiota.[39]

1100-lukuMuokkaa

 
Tusin pari: pallon sisällä liikkuvan pallon liike tuottaa suoraviivaisen liikkeen. Kopernikus piirsi samanlaisen kuvion, mutta ei ole todisteita siitä, että hän olisi tuntenut Tusin kirjoitusta asiasta.
  • Al-Samawal al-Maghribi (n. 1130 – n. 1180) oli marokonjuutalainen matemaatikko, jonka isä oli rabbi. Hän kehitti binomilauseiden teoriaa. Al-Maghribi syntyi Bagdadissa bujidien dynastian rajoiltaan erittäin supistuneessa arabivaltakunnassa. Al-Maghribi muutti myöhemmin Iranin Maraghehiin, kun seldzukit olivat kukistaneet bujidien valtakunnan.

1200-lukuMuokkaa

  • Nasir al-Din (tai Eddin) Tusi (1201–1274) oli persialainen matemaatikko, joka kirjoitti sekä arabiaksi että persiaksi. Tusi syntyi Tusin kaupungissa Khorasanissa itäisessä Iranissa. Alue kuului Kovaresmian sulttaanikuntaan, jonka mongolit kukistivat 1231. Tusi jatkoi yrityksiä paralleeliaksiooman todistamiseksi. Työ julkaistiin Euroopassa 1600-luvulla ja käynnisti uuden kiinnostuksen Saccherin nelikulmion tutkimiseen. Tusi kehitti trigonometriaa ja tähtitiedettä ja tuotti ensimmäisen systemaattisen taso- ja pallotrigonometrian esityksen. Paljon pohdintaa on herättänyt Tusin pari -niminen esitys, jossa kahden sisäkkäisen pallon pyörimisliike tuottaa lineaarisen liikkeen. Sitä tarjottiin selittämään planeettojen liikettä.[40][41]

1300- ja 1400-luvutMuokkaa

  • Jamshīd al-Kāshī (1380–1429) oli persialainen matemaatikko, joka eli Samarkandissa Timur Lenkin perustamassa mongolivaltakunnassa. Hän oli viimeinen suuri arabiaksi kirjoittanut matemaatikko. Hänen jälkeensä arabiankielinen matematiikka ajautuu muita tieteitä seuraten pysähdyksen tilaan ja alkaa vajota unohduksiin.[42]

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  • Boyer, Carl.: Tieteiden kuningatar. Matematiikan historia I–II. Art House, 1995. (suomeksi)
  • Huff, Toby E.: The Rise of Early Modern Science. Islam, China, and the West. 3rd edition. Cambridge University Press, 2017. ISBN 978-1-107-57107-5. (englanniksi)
  • David C. Lindberg & Michael H. Shank (toim.): The Cambridge History of Science. Volume 2. Medieval Science. Cambridge University Press, 2013. (englanniksi)
  • Luoma-aho, Erkki.: Matematiikan peruskäsitteiden historia. Matematiikkalehti Solmu, 1996–2012. Teoksen verkkoversio.

ViitteetMuokkaa

  1. Toby E. Huff: The Rise of Early Modern Science. Islam, China, and the West, s. 57. Cambridge University Press, 1998.
  2. Huff, 1998, s. 57
  3. Berggren, 2013, s. 63–64
  4. Huff, 1998, s. 54
  5. F. Jamil Rageb: Islamic culture and the natural sciences. Teoksessa: The Cambridge History of Science. Vol 2. Medieval Science, s. 29. Cambridge University Press, 2013.
  6. Berggren, 2013, s. 83
  7. Berggren, 2013, s. 83
  8. Berggren, 2013, s. 64–67
  9. Berggren, 2013, s. 64–69
  10. a b Luoma-aho, Algebra ja aritmetiikka, s.26
  11. Boyer, 1995, s. 343
  12. Luoma-aho, s. 12
  13. Huff, 1998, s. 57
  14. a b c d Berggren, 2013, s. 70–71
  15. Luoma-aho, Algebra ja aritmetiikka,s.17
  16. a b Editors of Encyclopaedia Britannica: Al-Khwārizmī Encyclopædia Britannica. Viitattu 20.5.2020.
  17. Berggren, 2013, s. 72
  18. Berggren, 2013, s. 86
  19. Huff, 1998, s. 57
  20. a b c Luoma-aho, s. 112–113
  21. J. J. O'Connor & E. F. Robertson: Abu Abdallah Mohammad ibn Jabir Al-Battani 1999. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland.
  22. Berggren, 2013, s. 77–79
  23. Berggren, 2013, s. 79
  24. Kheirandish, Elaheh: Optics and Mechanics in the Islamic Middle Ages, Teoksessa:Linbergh & Shank, s. 88. , 2013.
  25. a b Kheirandish, Elaheh: Optics and Mechanics in the Islamic Middle Ages, Teoksessa:Linbergh & Shank, s. 88. , 2013.
  26. Lindberg, Savid C. & Tachay, Katherine H.: The Science of Light and Color, Seeing and Knowing. Teoksessa: Lindberg & Shank (toim)., s. 492. , 2013.
  27. a b Lindberg, Savid C. & Tachay, Katherine H.: The Science of Light and Color, Seeing and Knowing. Teoksessa: Lindberg & Shank (toim)., s. 492. , 2013.
  28. Kheirandish, 2013, s. 104
  29. Berggren, 1996, s. 82–83
  30. Huff, 1998, s. 56
  31. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar. Matematiikan historia I–II, s. 327–330. Art House, 1995.
  32. Boyer, 1995, s. 326
  33. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar. Matematiikan historia I–II, s. 335–337. Art House, 1995.
  34. J. L. Berggren: Islamic Mathematics. Teoksessa: David C.Lindberg & Michael H. Shank (toim.): The Cambridge History of Science. Volume 2. Medieval Science, s. 77–79. Cambridge University Press, 2013.
  35. Erkki Luoma-aho: Matematiikan peruskäsitteiden historia, s. 14 1996–2012. Matematiikkalehti Solmu.
  36. O'Connor, John J. & Robertson, Edmund F.: Mohammad Abu'l-Wafa Al-Buzjani MacTutor History of Mathematics archive. 1999. University of St Andrews.
  37. Boyer, 1995, s. 343
  38. Boyer, 1995, s. 342
  39. J. L. Berggren: Islamic Mathematics. Teoksessa: David C.Lindberg & Michael H. Shank (toim.): The Cambridge History of Science. Volume 2. Medieval Science, s. 80–81. Cambridge University Press, 2013.
  40. Boyer, 1995, s. 347–348
  41. Huff, 2017, s. 68–73
  42. Boyer, 1995, s. 348–350