Pallogeometria

Pallogeometria on kaksi­ulotteisen pallo­pinnan geometria. Tässä yhteydessä pallolla tai pallopinnalla tarkoitetaan nimenomaan kaksi­ulotteista pintaa, joskin matematiikassa sana pallo voi muissa yhteyksissä tarkoittaa myös sen rajoittamaa kappaletta (kuulaa) tai myös sekä pallopinnan että kuulan useampi­ulotteista vastinetta.

Pallokolmion kulmien summa ei ole 180°. Pallopinta on kaareva pinta, mutta lokaalisti euklidisen tasogeometrian säännöt ovat siinä likipitäen voimassa. Maapallon pinnalla pienen kolmion kulmien summa on vain vähän yli 180 astetta.

Pallopinta ja sille piirretty pallokolmio.

Pallogeometriaa on kauan tutkittu navigointiin liittyvien ja tähti­tieteellisten sovellustensa vuoksi. Euklidisen tasogeometrian kanssa sillä on monia yhtäläisyyksiä, mutta myös merkittäviä eroja. Pallogeometria käsitetään usein osaksi avaruusgeometriaa eli kolmi­ulotteista euklidista geometria, jolloin pallopintaa tarkastellaan kolmi­ulotteisen avaruuden osajoukkona. Sitä voidaan kuitenkin tarkastella myös sisäisin, intrisisin menetelmin, jolloin käsitellään vain pintaa itseään viittamatta lainkaan laajempaan avaruuteen, jossa pinta sijaitsee.

Koska pallopinta eroaa geometrisesti tasosta, (intrinsisella) pallogeometrialla on monia epäeuklidisen geometrian piirteitä, ja sellaisena sitä toisinaan pidetäänkin. Pallogeometria ei kuitenkaan ole käsitteen täydessä merkityksessä epä­euklidista geometriaa, sillä se ei riitä ratkaisemaan, onko paralleeliaksiooma looginen seuraus muista Eukleideen tasogeometrian aksioomista. Tähän kysymykseen toi vastauksen vasta hyperbolinen geometria.

Yleiskatsaus

Tasogeometrian peruskäsitteet ovat piste ja suora. Pallo­geometriassa vastaavat peruskäsitteet ovat piste ja isoympyrä. Kaksi pallo­pinnan isoympyrää leikkaa toisensa kahdessa pisteessä, jotka ovat toistensa antipodeja, ja tässä suhteessa pallo­geometria poikkeaa (yksin­kertaisesta) elliptisestä geometriata.

Kun pallopinta käsitetään kolmi­ulotteisen avaruuden osajoukoksi, isoympyrät ovat pallopinnan ja sen keskipisteen kautta kulkevien tasojen leikkauksia. Intrinsisesti tarkasteltuna isoympyrä on geodeettinen viiva, lyhin tie kahden pisteen välillä edellyttäen, että ne ovat tarpeeksi lähellä toisiinsa. Intrinsisessä aksiomaattisessa lähestymis­tavassa, joka on analoginen Eukleideen tasogeometriassa käytetylle, isoympyrä on pisteen tavoin peruskäsite, jota ei määritellä, mutta sen ja pisteen tärkeimmät ominaisuudet ja yhteydet ilmaistaan aksioomella, joista niiden muut ominaisuudet seuraavat.

Isoymyröillä on pallo­geometriassa monessa suhteessa vastaava looginen merkitys kuin suorilla euklidisessa geometriassa, esimerkiksi pallokolmioiden sivuina. Tämä ei ole pelkkä analogia: pallo- ja tasogeometriaa ja useita muitakin voidaan käsitellä erikois­tapauksina samasta yleisemmästä, etäisyyksien mittaamiseen perustuvista geometrisista struktuureista, joissa "suorat" määritellään lyhimpinä polkuina (geodeettisina viivoina). Monet pisteitä ja "suoria" koskevat lauseet pätevät yhtä lailla kaikissa tällaisissa geometrioissa, edellyttäen että ne on määritelty tähän tapaan, ja teoria voidaan suoraan yleistää korkeampiin ulottuvuuksiin. Koska pallo­geometria kuitenkin on sekä sovellustensa vuoksi että ja pedagogisista syistä sidoksissa avaruus­geometriaan ja koska näissä yleistyksissä eivät kaikki pallopintaa koskevat tulokset päde, pallogeometriassa ei yleensä käytetä termiä "suora" mistään pinnalla itsellään olevasta viivasta. Historialli­sesti­kin se on kehittynyt osana avaruus­geometriaa, ja siinä käytetään apuna myös ympäröivän kolmiulotteisen (euklidisen) avaruuden pisteitä, suoria ja tasoja.

Pallogeometriassa käsiteltävät kulmat ovat isoympyröiden välisiä kulmia. Kun pallopintaa tarkastellaan kolmiulotteisessa avaruudessa sijaitsevana, tämä kulma on yhtä suuri kuin niiden tasojen välisenä kulma, joiden leikkauksia pallopinnan kanssa nämä isoympyrät ovat. Isoympyröiden ja kulmien muodostamia pallokolmioita käsittelee pallotrigonometria, joka eroaa tavallisesta trigonometriasta monin tavoin: esimerkiksi pallokolmion kulmien summa on aina suurempi kuin 180 astetta.

Yhteys muihin samankaltaisiin geometrioihin

Pallogeometria on läheistä sukua elliptiselle geometrialle.

Eräs huomattava pallogeometriaa muistuttava geometria on projektiivisen tason geometria. Se saadaan samastamalla keskenään toistensa antipodissa olevat pisteet, toisin sanoen ne pallopinnan pisteet, jotka ovat yhtä kaukana pallon keskipisteestä sen vastakkaisilla puolilla. Lokaalisesti projektiivisella tasolla on kaikki pallopinnan ominaisuudet, mutta sen globaalit ominaisuudet ovat erilaiset. Erityisesti projektiivinen taso on orientoitumaton, yksipuolinen, ja toisin kuin pallopintaa, sellaista ei voi muodostaa kolmi­ulotteisessa avaruudessa ilman, että se leikkaa itsensä.

Pallogemetrian käsitteitä voidaan soveltaa myös pyörähdysellipsoidiin, joskin eräitä kaavoja on hieman muutettava.

Pallogeometria voidaan elliptisen geometrian tavoin yleistää myös useampaan ulottuvuuteen.

Historia

Antiikin Kreikka

Varhaisin nykyaikaan säilynyt pallogeometriaa käsittelevä teos on Autolykos Pitanelaisen 300-luvulla eKr. kirjoittama "Pyörivästä pallosta" kreik. Περὶ κινουμένης σφαίρας, Peri kinoumenes sphairas).

Pallotrigonometriaa tutkivat muutamat antiikin kreikkalaiset matemaatikot ja tähtitieteilijät kuten Theodosius Bithynialainen, joka kirjoitti pallo­geometriaa käsittelevän teoksen Sphaerics ja Menelaos Aleksandrialainen, joka kirjoitti pallotrigonometriaa käsittelevän kirjan Sphaerica ja tunnetaan myös Menelaoksen lauseen keksijänä.

Islamilainen maailma

Islamilaisen matemaatikko Al-Jayyanin kirjoittamaa "Pallon tuntemattomien kaarten kirjaa" pidetään ensimmäisenä pallotrigonometriaa systemaattisesti käsittelevänä teoksena. Kirjassa on suorakulmaisia kolmiota koskevia kaavoja, yleinen sinilause sekä pallokolmion ratkaisu napakolmion avulla.

Regiomontanuksen noin vuonna 1463 kirjoittama Kolmioista on ensimmäinen eurooppalainen puhtaasti trigonometrinen teos. Noin sata vuotta myöhemmin Gerolamo Cardano kuitenkin totesi, että suurin osa sen pallo­trigonometriaa käsittelevästä aineistosta oli lainattu 1100-luvulla eläneen andalusialaisen Jabir ibn Aflahin teoksista.

Eulerin tutkielmat

Leonhard Euler julkaisi useita merkittäviä pallogeometriaa käsitteleviä tutkielmia:

• L. Euler: ”Principes de la trigonométrie sphérique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits”, Opera Omnia, Series 1, vol XXVII, s. 277–308. alkuperäisjulkaisu: Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1753), 1755, sivut 233–257. {{{Julkaisija}}}. (ranskaksi)
• L. Euler: ”Eléments de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits”, Opera Omnia, Series 1, vol XXVII, s. 309–338. alkuperäisjulkaisu: Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1754), 1755, sivut 258–293. {{{Julkaisija}}}. (ranskaksi)
• L. Euler: ”De curva rectificabili in superficie sphaerica”, Opera Omnia, Series 1, vol XXVIII, s. 142–160. alkuperäisjulkaisu: Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 15, 1771, sivut 195–216. {{{Julkaisija}}}. (latinaksi)
• L. Euler: ”De mensura angulorum solidorum”, Opera Omnia, Series 1, vol. XXVI, s. 204–223. alkuperäisjulkaisu: Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 2, 1781, sivut 31–54. {{{Julkaisija}}}. (latinaksi)
• L. Euler: ”Trigonometria sphaerica universa, ex primis principiis breviter et dilucide derivata”, Opera Omnia, Series 1, vol. XXVI, s. 224–236. alkuperäisjulkaisu = Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 3, 1782, sivut 72–86. {{{Julkaisija}}}. (latinaksi)
• L. Euler: ”Problematis cuiusdam Pappi Alexandrini constructio”, Opera Omnia, Series 1, vol. XXVI, s. 237–242. alkuperäisjulkaisu: Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 4, 1783, sivut 91–96. {{{Julkaisija}}}. (latinaksi)
• L. Euler: ”Geometrica et sphaerica quaedam”, Opera Omnia, Series 1, vol. XXVI, s. 344–358. alkuperäisjulkaisu: Mémoires de l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg 5, 1815, sivut 96–114. {{{Julkaisija}}}. (latinaksi)
• L. Euler: ”Variae speculationes super area triangulorum sphaericorum”, Opera Omnia, Series 1, vol. XXIX, s. 253–266. alkuperäisjulkaisu: Nova Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 10, 1797, sivut 47–62. {{{Julkaisija}}}. (latinaksi)

Ominaisuuksia

Pallogeometrialla on seuraavat ominaisuudet:

• Mitkä tahansa kaksi isoympyrää leikkaavat toisensa kahdessa vastakkaisessa pisteessä, joita sanotaan toistensa antipodipisteiksi eli antipodaalisiksi pisteiksi.
• Kahden pisteen kautta, jotka eivät ole toistensa antipodipisteitä, kulkee aina yksi ja vain yksi isoympyrä.
• On olemassa luonnollinen pituusyksikkö (joka perustuu kierrokseen), luonnollinen kulmayksikkö (joka perustuu isoympyrän kehään) ja luonnollinen pinta-alan yksikkö (joka perustuu pallon pinta-alaan).
• Jokaiseen isoympyrään liittyy kaksi toistensa antipodissa olevaa pistettä, joita sanotaan isoympyrän navoiksi ja jotka ovat kaikkien sen kohtisuorasti leikkaavien isoympyröiden yhteiset leikkauspisteet. Tämä osoittaa, että isoympyrä toteuttaa myös pallon pinnalla ympyrän määritelmän: se on niiden pisteiden ura, jotka ovat annetulla etäisyydellä tietystä keskipisteestä, isoympyrän navasta.
• Jokaista pallonpinnan pistettä vastaa yksi yksikäsitteisesti määritelty isoympyrä, jota sanotaan pisteen polaariseksi isoympyräksi, nimittäin se isoympyrä, joka saadaan pallopinnan ja sen tason leikkauksena, joka kulkee pallon keskipisteen kautta ja on kohtisuorassa annetusta pisteestä pallon läpi sen antipodipisteeseen johtavaan janaan nähden.

Pisteet, jotka eivät ole toistensa antipodeja, voidaan yhdistää toisiinsa kahdella isoympyrän kaarella, jotka yhdessä muodostavat isoympyrän. Näin ollen kolme pistettä, jotka eivät ole samalla isoympyrällä, eivät yksikäsitteisesti määrittele kolmiota. Jos kuitenkin tarkastellaan vain kolmioita, joiden sivut ovat isoympyröiden pienempiä kaaria, toisin sanoen kaaria, joiden pituus on vähemmän kuin puolet isoympyrän kehästä, niillä voidaan todeta olevan seuraavat ominaisuudet:

• Kolmion kulmien summa on suurempi kuin 180° ja pienempi kuin 540°.
• Kolmion pinta-ala on suoraan verrannollinen siihen erotukseen, minkä verran sen kulmien summa on suurempi kuin 180°.
• Kaksi kolmiota, joiden kulmien summa on sama, ovat pinta-alaltaan yhtä suuri.
• Kaikkien kolmioiden pinta-ala on pienempi kuin eräs yläraja.
• Kahden isoympyrän suhteen suoritettujen peilausten yhdistetty kuvaus voidaan käsittää myös kierroksi niiden jommankumman leikkauspisteen ympäri.
• Kaksi kolmiota on yhteneviä, jos ja vain jos ne toinen niistä voidaan kuvata toiselle äärellisellä määrällä tällaisia peilauksia.
• Kaksi kolmiota, joilla on yhtä suuret kulmat, ovat yhteneviä, toisin sanoen yhdenmuotoiset kolmiot ovat aina yhteneviä.

Pallogeometria ja Eukleideen postulaatit

Mikäli sanaa "suora" käytetään tarkoittamaan pallon isoympyrää ja sanaa "jana" isoympyrän kaaresta, pallogeometria toteuttaa kaksi Eukleideen viidestä postulaatista, nimittäin toisen ("jana voidaan jatkaa jatkuvasti kokonaiseksi suoraksi") ja neljännen ("kaikki suorat kulmat ovat yhtä suuria"). Sen sijaan kolme muuta postulaattia eivät päde. Vastoin ensimmäistä postulaattia kahden pisteen välillä ei aina ole yksikäsitteistä lyhintä reittiä (antipodipisteet kuten pohjois- ja etelänapa ovat vastaesimerkkejä). Vastoin kolmatta postulaattia ei pallopinnalle voida ympyrää, jonka säde on tiettyä rajaa suurempi. Ja vastoin viidettä eli paralleeliaksioomaa ei "suoran" ulkopuolella olevan pisteen kautta kulje yhtään sellaista "suoraa", joka ei leikkaisi edellistä jossakin pisteessä.

Paralleeliaksiooma on yhtäpitävä muun muassa sen lauseen kanssa, että on olemassa kolmio, jonka kulmien summa on 180°. Koska pallogeometriassa paralleeliaksiooma ei ole voimassa, ei pallopinnalla ole tämän ehdon toteuttavaa kolmiota. Sen sijaan pallokolmion kulmien summa on 180°(1 + 4f), missä f on kolmion sisään jäävän alueen pinta-alan suhde koko pallon pinta-alaan. Kaikilla f:n positiivisilla arvoilla tämä on suurempi kuin 180°.

Käytännön sovelluksia

Pallogeometrialle on paljon käytännön sovelluksia, sillä esimerkiksi Maapallolla liikutaan pallopinnalla, ja juuri merenkulun tarpeet ovatkin hyötyneet pallogeometrian tutkimuksesta.

Katso myös

• Pallotähtitiede
• Pallotrigonometria
• Elliptinen geometria

Lähteet

• Athanase Papadopoulos: ”Euler, la géométrie sphérique et le calcul des variations”, Leonhard Euler : Mathématicien, physicien et théoricien de la musique. Pariisi: CNRS Editions, 2015. 978-2-271-08331-9.
• Glen van Brummelen: Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry. Princeton University Press, 2013. ISBN 978-069-1-14892-2. Teoksen verkkoversio.
• Roshdi Rashed, Athanase Papadopoulos: Menelaus' Spherics: Early Translation and al-Mahani'/alHarawi's version. Critical edition of Menelaus' Spherics from the Arabic manuscripts, with historical and mathematical commentaries''. Kirjasarja: Scientia Graeco-Arabica 21. De Gruyter, 2017. ISBN 978-3-11-057142-4.

Aiheesta muualla

• Sphaerica - geometry software for constructing on the sphere sourceforge.net.