Kuutiojuuri

matemaattinen laskutoimitus

Luvun x kuutiojuuri (merkitään tai x1/3) on luku a niin, että a korotettuna kolmanteen potenssiin on x. Esimerkiksi luvun kuutiojuuri on

sillä

Kuutioluku on kokonaisluku, jonka kuutiojuuri on myös kokonaisluku.

Geometrisia sovelluksia muokkaa

Jos kuution tilavuus V tunnetaan, kuution särmän pituus on tämän tilavuuden kuutiojuuri,

 .

Kompleksiluvun kuutiojuuri muokkaa

Kuutiojuuren käsite voidaan yleistää myös kompleksiluvuille. Jokaista kompleksilukua x + yi kohti, nollaa lukuun ottamatta, on kolme sellaista kompleksilukua u + vi, joiden kuutio on x + yi. Esimerkiksi kompleksiluvun 1 (=1 + 0i) kuutiojuuret ovat  ,   ja  . Kuutiojuuren pääarvoksi sanotaan sitä juurta, jolla on itseisarvoltaan pienin argumentti.[1]

Useimmissa tapauksissa kompleksiluvun x+yi kuutiojuuren arvojen   reaali- ja imaginaariosia u ja v ei kuitenkaan voida esittää x:n ja y:n algebrallisena lausekkeena. Sen sijaan ne voidaan määrittää trigonometristen funktioiden ja De Moivren kaavan avulla.

Tämä perustuu siihen, että kompleksiluku voidaan esittää myös napakoordinaateissa, sen itseisarvon (moduulin, r) ja vaihekulman (argumentin,  ) avulla:

 ,

missä

  ja
 .[2]

Geometrisesti kompleksiluvun moduuli merkitsee sen kompleksitasolla olevan vastinpisteen etäisyyttä origosta, argumentti taas origosta kyseiseen pisteeseen johtavan suoran ja reaaliakselin (x-akselin) välistä kulmaa.

De Moivren kaavan mukaan

 ,

ja erityisesti

 

josta saadaan kääntäen:

 

Toisin sanoen kompleksiluvun kuutiojuuren moduuli on alkuperäisen kompleksiluvun x + bi moduulista ja argumentti kolmasosa alkuperäisen kompleksiluvun argumentista. Näin saadaan kuutiojuuren pääarvo. Kun kompleksiluvun argumenttiin kuitenkin voidaan lisätä tai vähentää mikä tahansa 2 :n monikerta tahansa kompleksiluvun arvon pysyessä ennallaan, on kaksi muutakin kompleksilukua, joiden kuutio on sama, nimittäin:   ja  

Näin saadaan kompleksiluvun x + yi kuutiojuurille lausekkeet:

 ,
  ja
 .

Katso myös muokkaa

Lähteet muokkaa

  1. Simo K. Kivelä: ”Kompleksiluvun juuret”, Kompleksiluvut, s. 8. , 2009. Teoksen verkkoversio.
  2. Olli Lehto: ”Kompleksiluvut: Itseisarvo ja argumentti”, Funktioteoria 1 ja 2, s. 7. Limes ry, 1980. ISBN 951-745-077-X.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.