χ²-jakauma

$\chi ^{2}$-jakauma on tilastotieteen testeissä käytetty jakauma. Jos satunnaismuuttujat $X_{1},\ldots ,X_{n}$ ovat riippumattomia ja standardinormaalijakautuneita, niin niiden neliöiden summa on $\chi ^{2}$-jakautunut n:llä vapausasteella. Jos $X=X_{1}^{2}+\ldots +X_{n}^{2}$, on siis

$\chi ^{2}$-jakauma

Tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Merkintä	$\chi ^{2}(k)\!$ tai $\chi _{k}^{2}\!$
Parametrit	$k\in \mathbb {N} ~~$ (tunnetaan "vapausasteena")
Määrittelyjoukko	x ∈ [0, +∞)
Tiheysfunktio	${\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,$
Kertymäfunktio	${\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)$
Odotusarvo	k
Mediaani	$\approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}$
Moodi	max{ k − 2, 0 }
Varianssi	2k
Vinous	$\scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,$
Huipukkuus	12 / k
Entropia	${\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma (k/2))\\&\!+(1-k/2)\psi (k/2)\end{aligned}}$
Momentit generoiva funktio	(1 − 2 t)−k/2   kun  t  < ½
Karakteristinen funktio	(1 − 2 i t)−k/2

$X\sim \chi _{n}^{2}.$

Jakauman parametri $n$ on positiivinen kokonaisluku. $\chi ^{2}$-jakauma on jatkuva, ja sen arvojoukko on positiivisten reaalilukujen joukko. Tiheysfunktio on arvojoukossa

$f_{X}(x)={\frac {x^{{\frac {n}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}},$

jossa $\Gamma (r)=\int _{0}^{\infty }x^{r-1}e^{-x}dx$ on Eulerin gammafunktio.

Kertymäfunktiota $F_{X}(x)=\int _{0}^{x}f_{X}(z)dz$ ei voi yleisessä tapauksessa esittää suljetussa muodossa.

Odotusarvo ja varianssi ovat

$\operatorname {E} (X)=n$ ja $\operatorname {Var} (X)=2n.$

$\chi ^{2}$-jakauma on gammajakauman erikoistapaus:

$\chi ^{2}=\operatorname {Gamma} \left({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}}\right).$

Katso myös

• χ²-testi
• Khii

Aiheesta muualla

• Mathworld: Chi-Squared Distribution
• Mellin, Ilkka Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Todennäköisyysjakaumat

Diskreettejä jakaumia	Bernoullin jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Poissonin jakauma
Jatkuvia jakaumia	Beta-jakauma Cauchy-jakauma Eksponenttijakauma F-jakauma Gamma-jakauma Khii toiseen -jakauma Log-normaalijakauma Normaalijakauma Pareto-jakauma Studentin t-jakauma Tasajakauma Weibull-jakauma
Moniulotteisia jakaumia	Dirichlet-jakauma Moniulotteinen Studentin t-jakauma Multinomijakauma Multinormaalijakauma